• 5

2.7. «Арифметика фигур».

 Введенные операции (сложение векторов н умножение вектора на число) позволяют построить своеобразную «ариф­метику фигур», имеющую интересные приложения в геометрии. Дл. про­стоты мы рассмотрим эту «арифметику» только на плоскости.

Выберем на плоскости некоторую точку О и назовем ее нулевой точкой или началом отсчета. Если теперь А и В—две произвольные точки пло­скости, то суммой точек А и В мы назовем такую точку С, что

ОС =1)А + ОВ;          (21)

в этом случае мы будем писать просто С — А-\-В. (Ясно, что если точки О, А. В не лежат на одной прямой, то С будет четвертой вершиной па­раллелограмма, у которого три вер­шины расположены в точках О, А, В: рис. 24.) Точно так же, если А — про­извольная точка плоскости и X — дей­ствительное число, то произведением ХА мы будем считать такую точку £>,что

ОЬ = К.ОА; мы будем в этом случае писать просто: D=XA.

Из перечисленных выше свойств сложения векторов и умножения век­торов на числа непосредственно вытекают следующие соотношения (А, В — точки плоскости; X н ц—действительные числа):

А + В = В+А- (А + В)+С = А + (В + С) (эту точку обозначают просто через А-\-В-\-С)\

Л + 0 = Л;

1 -А = А, О-А — О, (А. + р) А=ХА + 1хА, МЛ4-В)-=- Ы + ?1В;

X (цЛ) = (Хр) А.

 

С~А+В

Рис. 24.

Пусть теперь Ф, и Ф2—две плоские фигуры. Рассмотрим всевозможные суммы А,А.л. где А, и Аг — произвольные точки фигур ф, и Ф2 соответ­ственно. Точки Л, + Л2 заполняют некоторую плоскую фигуру Ф (рис. 25). которую мы будем называть суммой фигур Ф, и Ф2 и будем обозначать символом Ф, + Ф2. Если каждая из фигур ф,, Ф2 состоит из одной точки, то Ф, + Ф2 будет суммой этих точек; другими словами, сложение

 

 

 

Рис. 25.

Рис. 26.

фигур является обобщением сложения точек. Аналогично, фигуру Я.Ф мы определим как фигуру, образованную всеми точками "КА, где А — про­извольная точка фигуры Ф (рис. 26). Иначе говоря, фигура ХФ получается из фигуры Ф с помощью гомотетии с центром О и коэффициентом X.

Из свойств сложения точек сразу следуют соотношения

Ф, + Ф2 = Ф2 + Ф,;

(Ф, + Ф2) + Ф3=Ф, + (Ф2 + Ф,)

(эту сумму мы будем обозначать просто через Ф,+ Ф2 + Ф3) и т. д.

Укажем в качестве примера, что если Ф, и Ф2 — непараллельные от­резки, то сумма Ф, + Фг является параллелограммом (рис. 27) Суммы фигур оСладают многими интересными свойствами, делающими плодотворным употребление в геометрии этогз поня­тия. Так, например, можно доказать.      )*Ф, что если плоские фигуры Ф, и Ф2 выпу­клые '), то периметр фигуры Ф,-|-ф2 равен сумме периметров фигур Ф, и Ф2.

Геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их распэложения. Данное же нами определение суммы фигур, конечно, зависит от положе­ния слагаемых; сверх того, оно еще зависит и от выбора начала отсчета. Это обстоятельство безусловно явля­ется серьезным недостатком определе­ния. Нетрудно, однако, доказать, что при изменении начала отсчета и при параллельном переносе слагаемых форма фигуры, являющейся суммой Ф, + Ф2, не меняется; эта сумма лишь подвергается в результате параллельному переносу. Вместе с тем поворот слагаемых може- существенно изменить сумму.Так, на рис. 28,а изображена сумма двух равных между собой треуголь-

 

Рис. 27.

') Частным случаем выпуклых фигур являются выпуклые многоуголь­ники (см. в кн. V ЭЭМ статью о выпуклых фигурах и телах).

инков, а иа рис. 28, б—сумма тех же треугольников, один из которых по вернут на угол 180°.

Следует отметить, что между «арифметикой фигур» и арифметикой

чисел имеются существенные различия Так,

0*

 

например, вообще говоря, не существует «разности». Ф,-—Ф2 двух заданных фи­гур Ф, и Ф2, т. е. такой фигуры Ф, что ©2-)-® = ®,; в частности, можно без тру да доказать, что не суще ствует разности между тре угольником и кругом Отметим, далее, что в «арифметике фнгур», вооб ще говоря, не выполнены такие соотношения, как

Ф-f Ф = 2-Ф, Рис. 28.           Ф + Ф+Ф=3-Ф

ит. д. Например, если Ф окружность радиуса г, то, как нетрудно видеть, фигура Ф 4-Ф будет кругом радиуса 2г, а фигура 2Ф представляет собой окружность радиуса Ъ

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я