• 5

Доказательство свойств

 (18) — (20) несложно. Рассмотрим, например, соотношение (18). При а=0 оно оче­видно. Если же а=^0, то из опреде­ления операции умножения вектора на число сразу следует, что векторы, стоящие в обеих частях соотноше­ния (18), параллельны вектору а и имеют одну и ту же длину (равную | k | ■ 111 ■ | а |). Поэтому остается толь­ко проверить, что векторы, стоящие в левой и правой частях соотношения

(18), одинаково направлены; это без труда устанавливается с учетом знаков чисел k и /. Далее, полное доказательство равенства (19) легко получить из определения операции умножения вектора на число и правила сложения векторов, параллельных одной прямой (см. выше, стр. 300). Наконец, соотношение (20) легко получить, построив па­раллелограмм со сторонами ОА = а и ОВ=Ь и применяя к этому, параллелограмму гомотетию с центром О и коэффициентом ft; дей­ствительно, учитывая соотношение (17), мы имеем

 

ft (а + b) = k (ОЛ -f OB) = ft ■ ОС = ОС = OA' -f OB' =

= k-OA + k-OB=ka + kb

(см. рис. 23, а, б, на которых отдельно изображены случаи ft>0 и ft<0). Приведенное доказательство применимо лишь в случае, если

') См. статью «Геометрические преобразования», стр. 55.

фигура ОАСВ является параллелограммом, г. е. векторы а и Ь не параллельны одной прямой. Рекомендуем читателю самостоятельно доказать равенство (20) для случая векторов, параллельных одной прямой.

С

 

Рис. 23

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я