• 5

2.5. Умножение вектора на число.

 Введение операций умноже­ния для векторов естественно начать с описания процесса умноже­ния вектора на число. Положим прежде всего

0-а = 0, 1 • а = а;      (13)

далее определим произведение вектора на целое положитель­ное число п:

__ _ . . (И)

 

па = а + а +.. . -\-а

Учитывая данное на стр. 300 правило сложения параллельных векторов (см., в частности, рис. 12, а), получаем отсюда, что вектор па имеет то же направление, что и вектор а, а длина его в п раз больше длины вектора а: |ла| = л-|а| (рис. 20, а). Далее, если положить

(— 1) ■ а = — а,       (14а)

то из естественного правила а((3а) = (сф)а мы получим

( —я) а = п [( — 1)а) = л-( — а) = — а + ( — а)+ ...+(— а),

••                                 .

л раз

20 Энциклопедия, кн А

и потому направление вектора (—п)а противоположно направлению

вектора а и |(—л)а| = л-|а| (рис 20,6). Далее, векторы ~ а и I

            а (где т — целое положительное) определим из равенств

т

'-а|=1 а а и т-—= —а

(15)

Отсюда и из данного выше определения произведения целого поло-

1

жительного числа на вектор заключаем, что вектор — а имеет то же

направление, что и вектор а, и в т раз меньшую длину:

т

а =

-а противоположно

=— -|о|(рис. 21,а); направление вектора направлению вектора о, а длина его в т раз меньше длины вектора а:

1

            а

т

= -^--|а| (рис. 21,6). Наконец, положив

п          ( 1 \      п          ( 1 \

— а=п\—а и  а = п[  а

т          \ т /      т          \ т )

(16)

 

 

 

получим, что вектор Ха, где ХфО— любое рациональное чи­сло, имеет то же направление, что и вектор а при к>0 и про­тивоположное направление при А,<0, а длина вектора Ка равна произведению абсолют­ной величины числа а на длину вектора а (т. е. |Я.а | = | К | • | а |). С некоторой натяжкой можно считать, что это правило со­храняет силу и при ^, = 0 (см. первую из формул (13); заме- Рис. 21.         тим, что нулевой вектор 0 во­

обще не имеет направления).

Условимся теперь считать, что выделенное курсивом правило справедливо для любых вещественных (не только рациональных) чи­сел X. Другими словами, будем считать, что произведение К-OA представляет собой вектор OA' определяемый следующими усло­виями-.

1)         точка 4' лежит на прямой OA;

2)         отношение ОА'-.ОА равно т. е. равно X при Х>0 и рав­но— К при К< 0;

3)         точки А и А' лежат (на прямой OA) по одну сторону от точки О при Х>0 и по разные стороны от точки О при А,<0.

Из этого определения видно, что операция умножения вектора на число тесно связана с преобразованием гомотетии1):

гомотетия с центром О и коэффициентом Кф0 (рис. 22,я, б) переводит каждую точку А в такую точку А', что

OA' =1- OA.

(17)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я