• загрузка...
    5

2.4. Вычитание векторов.

загрузка...

 Обратимся к операции вычитания векторов. Как и в случае чисел, разностью

х = а—Ь         (9)

векторов а и Ь назовем такой вектор х, который в сумме с век­тором b дает вектор а:

Ь + х^а.          (10)

Иначе говоря, равенство (9) по определению означает, чго справедливо соотношение (10). Существует ли вектор л;, который (при заданных а и Ь) удовлетворяет соотношению (10)? Рис. 19 изображает соотношение (10); на нем векторы а=ОА и Ь = ОВ от- тожены от одной точки О. Из этого рисунка видно, что разностью векторов OA и ОВ является вектор ВА:

~ОА — ОВ=~ВА.

Впрочем, это следует непосредственно и из соотношения (3), так как

0£+£Л = ОЛ.

Итак, для получения разности а—b достаточно отложить векторы а и Ь от одной точки и взять вектор, идущий из конца

вектора Ь к концу вектора а. Таким образом, операция вычитания векторов всегда выполнима. Эта операция, кроме того, однозначна (т, е. если b -J- х = Ь + то  в чем предо­

ставляем убедиться читателю).

Разность а — а двух равных векто- 0   ров, очевидно, является нулевым век-

Рис. 19.         Т°Р°М а — а — 0.    (11)

Далее, век гор 0 — о является вектором, противоположным век­тору а: находя разность 0 — а по данному выше правилу нахождения разности, мы видим, что вектор 0 — а изображается тем же отрезком, что и вектор а, но направленным в противоположную сторону:

АД — AS— ВА

(ср. (6)). Для краткости вектор 0 — с, противоположный вектору а, обозначают символом—а.

 

Мы уже знаем, что

с + ( — а) = 0

(см. формулу (6)); без труда проверяется также соотношение

а—&=«+(_ Ь)            (12)

Все эти равенства совершенно аналогичны привычным соотношениям, выполняющимся для чисел. Формула (12) дает другое определение операции вычитания: для того чтобы вычесть из некоторого век­тора векторЬ, достаточно прибавить к нему проти­воположный вектор —о.

Соотношения (9) и (10) показывают справедливость (для равенств, составленных из векторов) хорошо изве­стного правила: слагаемые из одной части равенства можно переносить в дру­гую, меняя знаки на обрат­ные. Иначе говоря, при сложении и вычитании век-      Рис. 20.

торов сохраняются все свой­ства этих операций, известные из обыкновенной арифметики (ариф­метики чисел). Ниже мы покажем, что для векторов можно определить также операции умножения, для которых сохраняются многие законы обычной арифметики.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я