• 5

2.3. Свойства суммы векторов.

 

Установим теперь дальнейшие свой­ства операции сложения векторов. Докажем прежде всего, что сложение векторов коммутативно (переместительно), т. е. что для любых двух векторов а и Ь справедливо равенство

а + Ь = Ъ-\-а. (7)

Для доказательства этого равенства обратимся к рис 14, на кото­ром изображен параллелограмм, сторонами которого служат векторы а = 04 = ВС и Ь = ОВ==~АС. Мы имеем

ОА + АС=ОС, ОВ + ВС=ОС,

или, иначе,

а + й -= ОС, 6+а = ОС,

откуда и следует равенство (7). Заметим, что это доказательство применимо лишь в случае, когда векторы а и Ь не параллельны. Если же векторы а и Ь параллельны, то равенство (7) непосредст­венно следует из приведенного на предыдущей странице описания сумм одинаково направленных и противоположно направленных век­торов.

 

В фигуре, изображенной на рие. 14, нетрудно увидеть пра­вило параллелограмма, применяющееся в физике для опре­деления суммы векторов («параллелограмм сил»): сумма векторов OA и ОВ равна вектору ОС, изображаемому диагональю парал­лелограмма ОАСВ (построенного на векторах OA и ОВ). Сле­дует отметить, что «правило параллелограмма» менее удобно для определения суммы векторов, чем использованное выше определение суммы векторов на основе равенства (3): «правило параллелограмма» теряет смысл в случае параллельности векторов-слагаемых и нуж­дается в этом случае в дополнительных разъяснениях, в то время как равенство (3) справедливо во всех случаях. В тех же случаях,

когда векторы-слагаемые не параллельны, правило параллелограмма и принятое выше определение сложения лишь формой от- чичаются друг от друга.

Можно еще определить сумму векто­ров следующим способом: вектор ОС называется суммой векторов OA = а и ОВ Ь, если середины отрезков ОС и АВ совпадают (рис. 15). Это правило сло­жения, очевидно, эквивалентно данному выше; оно применимо всегда (даже если векторы а и Ъ параллельны).

Как и в арифметике чисел, в «арифметике» векторов справедлив ассоциативный (сочетательный) закон сложении векторов, выража­емый равенством

(а+Ь) + с = а + (Ь + с).         (8)

Для доказательства мы отложим от произвольной точки О вектор ОА=а, от точки А — вектор АВ = Ъ и от точки В — вектор ВС=с. Тогда мы имеем (см. (3))

(а-\-Ь\ + с = (ОА+~АВ) + ВС*= ОВ + ВС=ОС,

а + {Ь + с) = ОА + (АВ+Ш) = 'ОА-\-АС=ОС,

откуда и следует равенство (8). Заметим, что приведенное доказа­тельство совсем не использует чертежа. Это характерно (при неко­тором навыке) для решения задач и доказательства теорем при по­мощи векторов. При желании читатель может повторить вывод соотношения (8), интерпретируя написанные соотношения на рис. 16.

Равенство (8) позволяет записывать сумму трех векторов просто в виде а + 64- с (без скобок), а вывод соотношения (8) (или рис. 16) убеждает нас в том, что эта сумме представляет собой замыкаю­

 

щую этих трех векторов, отложенных один за другим. Иначе говори

Ш+7Ё-\-ВС=0С

для любых четырех точек О, А, В, С. То же справедливо и для любого числа слагаемых: если несколько векторов отло­жены таким образом, что начало второго совпадает с концом первого,

0

 

(а+Ь)+с=а*(Ь+с)

Рис. 16.

Рис. 17.

начало третьего — с концом второго и т. д., то замыкающая, т. е. вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последне­го, представляет собой сумму всех взятых векторов. Например,

ЛВ+fiC+CD-f Ш= АЁ

(рис. 17).

Из того, что сумма нескольких векторов может быть определена как замыкающая, непосредственно вытекает следующее условие замкнутости векторного многоугольника. Пусть а, Ь, с, — не­сколько векторов; отложим их последовательно один за другим (т. е. так, чтобы начало второго совпадало с концом первого, начало третьего — с концом вто­рого и т. д.). Для того что­бы получающаяся ломаная, составленная из векторов (она может оказаться не­выпуклой и даже пересекаю­щей себя), была замкнутой

(т. е. чтобы конец последнего вектора совпадал с началом первого, рис. 18), необходимо и достаточно, чтобы сумма всех этих векторов была равна нулевому вектору

 

Рис. 18.

Соотношения (7) и (8), т. е. коммутативный и ассоциативный законы для сложения векторов, записываются точно так же, как и аналогичные законы для сложения чисел Это очень важно и удобно, так как позволяет, не переучиваясь, производить действия над равенствами, содержащими векторы, используя навыки, вырабо­танные при изучении действий над числами. Аналогия между чис­лами и векторами, как мы сейчас увидим, простирается и далее, при определении вычитания векторов и действиях над равенствами.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я