• 5

§ 2. Сложение векторов и умножение вектора на число1)

2.1. Сложение векторов. Все сказанное пока еще не делаег понятие вектора содержательным и полезным. Большую содер­жательность и богатую возможность применений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику»—арифметику векторов, позволяющую складывать век­торы, вычитать их и производить над ними целый ряд других

операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие чис­ла становится интересным лишь при введении арифметиче­ских действий, а не само по себе2).

Сумма векторов опреде­ляется в связи с «суммой» соответствующих параллельных переносов, причем сумма парал­лельных переносов3) понимается в том смысле, что эти переносы выполняются один за другим. На рис. 10 показано последо­вательное выполнение двух параллельных переносов. Если первый перенос переводит точку А в точку В, т. е. характеризуется вектором АВ, а второй переводит точку В в точку С, т. е. характеризуется вектором ВС, то в ре­зультате выполнения обоих переносов точка А переходит в точку С. Если взять другие точки А', В', С', перехолящие друг в друга

') Ср. со статьей «Векторные пространства и линейные преобразова­ния» в кн. II ЭЭМ.

2) Сама по себе связь понятия вектора с таким простым преобразо­ванием, как параллельный перенос, еще не создает содержательной «тео­рии векторов». Заметим в этой связи, что, скажем, с таким преобразова­нием, как сжатие к прямой (см. статью «Геометрические преобразования», стр. 55), можно сопоставить «геометрический образ», задаваемый прямой {осью сжатия) и числом (коэффициентом сжатия); однако это будет совер­шенно бессодержательной процедурой, поскольку вся теория таких «об­разов» ограничится их определением В противоположность этому образ, сопоставляемый с произвольным аффинным преобразованием (стр. 62), иг­рает серьезную роль в современной высшей геометрии; это связано с тем, что для подобных образов (называемых аффинорами) удается опреде­лить операции сложения и умножения. [Заметим, что возможное^ постро­ить «арифметику векторов» и «арифметику аффиноров» тесно связана с тем, что геометрические преобразования, с которыми сопоставляются эти новые понятия,— параллельные переносы и аффинные преобразования—образуют группы (см. статью «Геометрические преобразования», стр. 102).

®) В статье «Геометрические преобразования» употреблялся термин «произведение» (преобразований). В научной литературе в одном и том же смысле используются оба термина — «сумма» и «произведение»

 

С'

Рис. 10.

при этих переносах (так что А'В' — АВ и В'С' ВС), то точка А' переходит в результате выполнении обоих переносов в точку С' Из рис. 10 видно, что Д АВС= Д А'В'С (по двум сторонам и заключенному между ними углу), так что отрезки АС и А'С' равны; кроме того, эти отрезки параллельны и одинаково направлены, так как они образуют одинаковые углы с направленными отрезками АВ и А'В' (или ВС и В'С). Иначе говоря, АС=А'С. т. е. перемеще­ние исходной фигуры в последнее ее положение таково, что все отрезки, соединяющие соответствующие точки этих фигур, равны и параллельны. Следовательно, это перемещение также представляет собой параллельный перенос. Он называется суммой двух последо­вательно применявшихся параллельных переносов.

Если мы обозначим через а вектор первого параллельного пере-

а=АВ=А^В'. а через b—вектор второго параллельного переноса, т. е.

Ь=ВС=В7С.

то результирующий параллельный перенос будет характеризоваться вектором

Этот вектор с результирующего параллельного переноса называет ся суммой векторов а и b что выражается записью

с = а + Ь.

Если теперь оставить только

—-                               Рис. 11.

векторы а=АВ, Ь—ВС иС=АС

на рис. 10, то мы приходим к рис. 11, который показывает построе­ние суммы векторов:

Для построения суммы векторов нужно взять направленные отрезки, изображающие эти векторы и расположенные таким образом, что начало второго отрезка совпадает с концом пер­вого; тогда «замыкающий» направленный отрезок, т. е. отрезок, соединяющий начало первого отрезка с концом второго, будет изображать сумму двух взятых векторов.

Рис. 11 и данное выше правило сложения векторов приводят нас также к следующему простому, но важному выводу: для любых трех точек А, В, С имеет место равенство

~АВ+ВС=АС.           (3)

Заметим, что это равенство справедливо при любом располо­жении точек А, В, С и не требует чертежа, что часто бывает важно.

 

Из соотношения (3) и из известных неравенств, связывающих стороны треугольника, следует, что длина вектора-суммы всегда не больше суммы длин векторов-слагаемых и не меньше их раз­ности:

|а + &|^|вЦ-|Н \а + Ь\7>\а\ — \Ь\.   (4)

Ясно, что в первом из соотношений (4) знак равенства будет иметь место тогла и только тогда, когда векторы а и Ь параллельны и

 

/^Ь

6)

Рис. 12.

направлены в одну сторону (рис. 12, а): сумма двух параллельных и одинаково направленных векторов представляет собой вектор, направленный в ту же сторону, что и слагаемые; длина его равна сумме длин векторов-слагаемых (рис. 12, а). Во втором из соотношений (4) знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда векторы а и Ь параллельны, но направлены в разные стороны (причем вектор а имеет большую длину, рис. 12, б): сумма двух параллельных и противоположно направленных векторов

представляет собой вектор, направлен­ный в ту же сторону, что и тот из слагаемых векторов, длина которого больше; длина вектора-суммы равна разности длин слагаемых векторов.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я