• 5

Эквивалентностью же считают всякую связь между математиче­скими объектами, обладающую следующими тремя свойствами:

 

I.          Всякий объект эквивалентен самому себе («рефлекс и в ноет ь»),

II.         Если один объекгЛ эквивалентен второму, то и второй эквивалентен первому («с и м м е т р и ч н о с т ь»).

III.        Если один объект эквивалентен второму, а второй- третьему, то первый объект эквивалентен третьему («транзи­тивное т ь»).

Например, подобие геометрических форм является эквива лентностыо (ибо выполнение свойств I—III здесь очевидно). Разу­меется, равенство является частным случаем эквивалентности, но эквивалентность отнюдь не всегда сводится к равенству (как пока­зывает пример подобных фигур). Если мы условимся считать направ­ленные отрезки, у которых длины и направления совпадают, экви валентными, то мы получим отношение эквивалентности (условия 1 — III выполняются), но это, конечно, не есть равенство Таким об разом, приведенное выше определение можно счесть некорректным: то, что в этом определении признается «равенством» направленных отрез­ков (векторов), в действительности является лишь эквивалентностью.

Для устранения некорректности такого вида в математике существует стандартный прием: все эквивалентные между собой объекты собираются вместе, в один «класс эквивалентности», и этот класс эквивалентности и объявляется тем новым объектом, который следует изучать. Именно так (сознательно или бессознательно) мы поступаем, когда вводим простые дроби. Отношения 2:3, 4:6, 10:15, 36:54 и т д. обладают тем свойством.

 

что любые два из них образуют «верную» пропорцию (в том смысле, что произведение средних членов в такой пропорции будет равно произведе­нию крайних членов); мы признаем такие отношения «эквивалентными», и получающийся таким образом класс эквивалентности объявляем одним

/ 2 4

рациональным числом Лишь после этого равенство 2:3 = 4:6 ( или — = —

\ 3 6

становится «настоящим равенством»; до этого его следовало бы, строго говоря, понимать именно как эквивалентность, а не как утверждение о том, что в записи 2:3 = 4:6 в левой и в правой частях равенства написано «одно и то же».

Аналогично обстоит дело и с «равенством» треугольников (или других фигур). Изображенные на рис. 9 треугольники, разумеется, не одинаковы, т. е. не совпадают; поэтому более строгим было бы говорить о них как об эквивалентных, а не о равных '). Но в геометрии принято считать два совпадающих при наложении тре­угольника одним и тем же треугольником, т. е. понимать под словом «треугольник» сразу весь класс треугольников, каждые два из которых можно совместить дви­жением. Только после этого соглаше­ния приобретают смысл распространен ные утверждения вроде того, что «зада­ча построения треугольника по двум сторонам а и Ь и заключенному между ними углу С имеет единственное решение» (т. е. что существует лишь один треугольник с данными сторо­нами а и Ь и углом С) — без этого нового понимания слова «треугольник» последнее утверждение будет явно неверным2). И лишь это более широкое понимание слова «треугольник» (не подчеркиваемое в школе явно) делает законным употребление термина «равные треугольники» г).

То же можно сказать и относительно направленных отрезков. Направ­ленные отрезки, изображенные на рис. 8, следует считать лишь «эквива­лентными», а не «равными». Если же собрать все эквивалентные направ­ленные отрезки в один класс направленных отрезков, то такой класс эквивалентности как раз и будет семейстзом всех параллельных, одинаково направленных отрезков одной и той же длины. В результате мы приходим к принятому нами определению вектора как семейства на­правленных отрезков. Это определение более корректно, чем определение вектора kjk одного направленного отрезка.

') Иногда треугольники, изображенные на рис. 9, называют не «рав­ными», а «конгруэнтными», т. е. ьводят для эквивалентности фигур, вы­ражающейся свойством «совпадать при наложении», название конгруэнт­ность. Такая терминология логически безупречна, но сравнительно мало распространена.

2) Таким образом, строго говоря, сформулированное выше утвержде­ние о задаче построения треугольника по сторонам а и b и углу С означает: существует единственный «класс равных треугольников», такой, что все тре­угольники этого класса имеют заданные стороны a, b и заданный угол С (но, конечно, вовсе не единственный треугольник!).

') Эта точка зрения допускает и дальнейшее развитие. См. по этому поводу § 6 статьи «Геометрические преобразования», стр. 98—110.

 

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я