• 5

1.3. Откладывание вектора от точки

В связи с тем, что век­тор представляет собой семейство всех равных, параллельных и одинаково направленных отрезков, для любой точки А плоскости (пространства) найдется в этом семействе отрезок, начинаю­щийся в точке А. Нахождение такого отрезка называют откла­дыванием вектора а от данной точки А (рис. 7). Эта операция,

 

 

 

очевидно, сводится к построению отрезка, равного и параллельного данному, начинающегося в точке Л. Итак, любой вектор а можно отложить от любой заданной точки А. Если В—конец построенного таким образом отрезка (рис. 7), то пишут

а = АВ.           (1)

Последнее равенство означает, что, откладывая от точки А век­тор а, мы получаем отрезок АВ, направленный от точки А к точке В. Н связи с этим иногда бывает удобным обозначать векторы такими символами, как АВ, OA, и т. д., где А, В, О—произвольные точки. При этом следует помнить всегда, что АВ есть не все семейство отрезков, составляющее вектор, а лишь один отрезок этого семейства, но такая запись не вызывает недо­разумений, так как этот отрезок полностью опреде­ляет все семейство.

В целях математической строгости можно было бы условиться применять обозначение АВ для напра­вленного отрезка с началом в точке А и концом Рис. 7. в точке В, сохраняя обозначение а для вектора, т. е. для всего семейства направленных отрезков1). В таком случае запись (1) была бы некорректной (нельзя приравнять все бесконечное семейство одному его представителю) и ее было бы более правиль­ным заменить записью

АВ G о.          (2)

означающей, что направленный отрезок АВ принадлежит семей­ству отрезков (т. е. вектору) а. Однако замена более правильной записи (2) записью (1) не будет вызывать недоразумений, в связи с чем мы всегда в дальнейшем будем пользоваться записью (1) при откладывании векторов.

Теперь мы можем точно и кратко охарактеризовать параллель­ный перенос. Параллельный перенос есть преобразование плоскости, переводящее точку А в такую точку А', что А А' = а, где а — заданный вектор. Мы видим, что, подобно тому как симметрия любого рода определяется одним геометрическим объектом, а именно центром, осью или плоскостью симметрии, так и параллельный пере­нос определяется одним геометрическим объектом, а именно век­тором а. Этот вектор называется вектором параллельного пере­носа. Однако, для симметрий объект, определяющий преобразование

') Направленный отрезок иногда называют «связанным вектором» в противоположность «свободному вектору», представляющему собой то понятие, которое мы здесь обозначаем просто словом «вектор» (семейство направленных отрезков). Мы, однако, не будем в настоящей статье при­менять эту терминологию.

 

(точка, прямая или плоскость), является знакомым издавна, а объект, определяющий параллельный перенос, приходится вводить в рассмотрение заново.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я