5.4. Понятие о центральной аксонометрии.
Вопрос об изображении пространственных фигур в центральной проекции разрешается аналогично такому же вопросу в параллельной проекции: надо изобразить систему координат и показать жесткую проективную связь изображаемых элементов фигуры с этой системой координат. Разница заключается в том, что система отнесения здесь другая.
Проективная система координат в трехмерном пространстве — это три неколлинеарные оси О'Х', O'Y', O'Z', на каждой из которых
') Символом i2 обозначается прямая, проходящая через точки 1 и 2; 12x34 обозначает точку пересечения прямых 12 и 34.
даны по две точки (кроме О'). Соединяя между собой точки £,, Ег,
Г lit
Ег, а также F,, F2, F„ мы представим эту систему координат так: два / > f / / / • треугольника и FlFzF„ лежащие в разных плоскостях, причем
прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников,
проходят через одну точку (т. е. треугольники перспективны).
Такая фигура (рис. 60) называется «.дезарговой конфигурацией». Де-
«аргова конфигурация в проективном пространстве играет ту же роль,
какую играет тетраэдр в аффинном.
Особый интерес представляет дезаргова конфигурация, для которой
/_X'0'Y' = Y'O'Z' = /_ Z'O'X' = 90°,
О'Е\ = о'Е'г = О'Е
точки Fv Ft, Ft несобственные.
Такую дезаргову конфигурацию мы будем называть прямоугольной равнобедренной.
Изображением пространственной дезарговой конфигурации служит плоская дезаргова конфигурация: у нее оси ОХ, OY и OZ лежат в одной плоскости (плоскости рисунка).
Для центральных проекций имеет место теорема, аналогичная теореме Польке — Шварца для параллельных проекций. Приведем эти теоремы в сопоставлении.
Вопрос. Можно ли, параллельно проектируя тетраэдр, получить наперед заданный четырехвершинник?
Ответ (теорема Польке—Шварца). Получить в точности данный четырехвершинник, вообще говоря, нельзя, но всегда можно получить его с однопараметрическим искажением, а именно: можно получить четырехвершинник, подобный данному.
Если же говорить не о непосредственной параллельной проекции, а об изображении по методу параллельной проекции, то любой четырехвершинник может служить изображением любого тетраэдра.
Вопрос. Можно ли, центрально проектируя пространственную дезаргову конфигурацию, получить наперед заданную плоскую де- заргову конфигурацию?
Ответ (аналог теоремы Польке — Шварца для центральной проекции). Получить в точности данную плоскую дезаргову конфигурацию, вообще говоря, нельзя, но всегда можно получить ее с двухпараметрическим искажением, а именно: можно получить плоскую дезаргову конфигурацию, унимодулярно аффиную1) данной 2).
Если же говорить не о непосредственной центральной проекции, а об изображении по методу центральной проекции, то любая плоская дезаргова конфигурация может служить изображением любой пространственной дезарговой конфигурации.
Чтобы построить изображение пространственной фигуры в свободной центральной проекции, надо выделить в составе оригинала
>) Унимодулярно-аффинное (иначе: эквиаффинное) преобразований— аффинное преобразование, сохраняющее неизменными площади всех фигур.
2) См статью Н. М. Б е с к и н а, указанную в сноске на стр. 251.
Рис. 60.
пространственную дезаргову конфигурацию, и изобразить ее произвольно (т. е. произвольной плоской дезарговой конфигурацией). Построение изображения произвольной точки М' показано на рис. 61. Прямая О'М' пересечет плоскости ЕхЕгЕх и FtFtF, соответственно в точках М'} и М'г. Изображение одной из них (например, Л1,) должно быть дано, а изображение другой можно построить (ниже будет объяснено почему). При реконструкции оригинала по рис. 61 мы прежде всего должны будем восстановить положение точек М'л и М'. Если бы мы имели только треугольник Е,ЕгЕ„ то положение точки м\
в плоскости этого треугольника не могло бы быть фиксировано проекгив-
но жестко, так как треугольник не определяет систему координат
в проективной плоскости. Здесь нам на помощь приходит прямая
tit / / /
пересечения плоскостей ЕхЕгЕг и FiFtF, (она называется дезарговой прямой) Так как она принадлежит обеим плоскостям, то в каждой из этих плоскостей мы имеем четыре прямые: стороны треугольника EiE2Es (или FiF^F,) и дезаргова прямая. Четыре прямые образуют систему координат, и относительно нее можно проективно жестко фиксировать положение точки (а также М). Изображением дезарговой прямой служит дезаргова прямая плоской конфигурации, т. е. прямая, на которой лежат точки
D^E^XFA.
D.^E.E.xF.F.
(согласно теореме Дезарга1) эти три точки лежат на одной прямой). Точка /И, занимает по отношению к четырем прямым (стороны треугольника £,£,£, и дезаргова прямая) проекгивно такое же положение, как точка М[ по отношению к соответствующим четырем
прямым (стороны треугольника ЕуЕгЕ, и дезаргова прямая).
Теперь можно объяснить, почему задание точки М[ на рис. 61 позволяет построить точку М\ В плоскости Е'Е'Е^ как только что было показано, мы имеем проективную систему координат. Поэтому положение точки Ж, относительно этой системы проективно фиксировано. Точка Мг относительно аналогичной системы координат
в плоскости £i£2£j занимает такое же положение, потому что эти две системы перспективны (центр перспективы — точка О').
Это можно записать так-
(е;. Е2,Е'„ d\ М[) (F[,F-2.F'„d',M'2)
(d'—дезаргова прямая). Отсюда следует
(£„ Ег, Е„ d, Mt) д (F„ f2. F„ d, Мг)
(d—дезаргова прямая плоской дезарговой конфигурации). Это последнее соотношение позволяет построить точку Mv если дана точка /И,. Мы. ие показываем построения.
Прямая задается своей проекцией с указанием двух уже заданных точек, например двух следов на плоскостях базисной дезарговой конфигурации. Плоскость задается следами на двух плоскостях базисной конфигурации или на любых двух уже заданных плоскостях.
Можно также задавать любой элемент инцидентными ему точками, прямыми, плоскостями (уже заданными); например, можно задать плоскость тремя точками.
Рисунок, выполненный с соблюдением указанных правил, определяет оригинал лишь с точностью до проективного преобразования. В самом деле, истолковывая рисунок, можно в качестве оригинала базисной дезарговой конфигурации подразумевать любую пространственную дезаргову конфигурацию. Переход же от одной пространственной дезарговой конфигурации к другой определяет проективное преобразование пространства.
Если же снабдить рисунок примечанием, дающим реконструкцию базисной конфигурации, то мы получим условное изображение, определяющее оригинал метрически точно Этот метод называется центральной аксонометрией. Центральная аксонометрия, как и параллельная, представляет собой метод изображения ориги-
') См. статью «Геометрические преобразования», стр. 130—133.
нала вместе с системой координат. Различие между центральной и параллельной аксонометрией заклюиаетсн в двух пунктах:
1) система координат—не аффинная, а проективная,
2) на изображении должна быть показана проективная (а не аффинная) связь небазисных элементов с базисом.
Рис. 62 — пример изображения по методу центральной аксонометрии, если известны метрические параметры натуральной системы координат. Пусть, например, известно, что эта система—прямоугольная равнобедренная, т. е.
Х'О' У' = /_ Y'O'Z' = £ Z'O'X' = 90°. О' Е\ = 0'Е'г = 0'Е)
Рис. 62.
точки F2, F, несобственные; /И, и Мг — следы прямой _ соответственно на плоскостях Y'O'Z' и Z'O'X'. Третий след Ж, можно построить, и тогда положение точки М' на прямой проективно жестко фиксируется сложным отношением (М М ММ')\ это отношение на изо-
'12 3
бражении такое же, как в оригинале.
Теория свободных изображений играет важную роль в аэрофотограмметрии. Имея снимок, сделанный с самолета, мы обычно не знаем параметров проектирующего аппарата. Если бы в момент фотографирования плоскость фотопленки была параллельна плоскости земной поверхности, то мы получили 6.»i изображение, подобное орч-
гиналу. Положим теперь, что плоскость фотопленки наклонена к горизонтальной плоскости, причем угол наклона и другие параметры проектирующего аппарата неизвестны. Как дешифрировать снимок (т. е. построить по этому искаженному изображению метрически точный план местности)? Самый простой случай — когда на местности имеются четыре точки об.цего положения, положение которых нам заранее точно известно. Тогда этот четырехвершинник принимается за базисный, и снимок превращается в аксонометрическое изображение, по которому оригинал определяется метрически точно.
Центральной аксонометрией пользуются архитекторы, вычерчивая проекты зданий (речь идет об общем виде здания в целом). Это объясняется тем, что мы обычно рассматриваем здание с расстояния, которое невелико по сравнению с размерами самого здания. Поэтому изображение в параллельной аксонометрии показалось бы неправдоподобным. так как изображение в параллельной проекции есть вид с очень большого (практически бесконечного) расстояния.