5.4. Понятие о центральной аксонометрии.

 Вопрос об изобра­жении пространственных фигур в центральной проекции разрешается аналогично такому же вопросу в параллельной проекции: надо изо­бразить систему координат и показать жесткую проективную связь изображаемых элементов фигуры с этой системой координат. Разница заключается в том, что система отнесения здесь другая.

Проективная система координат в трехмерном пространстве — это три неколлинеарные оси О'Х', O'Y', O'Z', на каждой из которых

') Символом i2 обозначается прямая, проходящая через точки 1 и 2; 12x34 обозначает точку пересечения прямых 12 и 34.

даны по две точки (кроме О'). Соединяя между собой точки £,, Ег,

Г          lit

Ег, а также F,, F2, F„ мы представим эту систему координат так: два / > f / / / • треугольника            и FlFzF„ лежащие в разных плоскостях, причем

прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников,

проходят через одну точку (т. е. треугольники перспективны).

Такая фигура (рис. 60) называется «.дезарговой конфигурацией». Де-

«аргова конфигурация в проективном пространстве играет ту же роль,

какую играет тетраэдр в аффинном.

 

Особый интерес представляет дезаргова конфигурация, для ко­торой

/_X'0'Y' = Y'O'Z' = /_ Z'O'X' = 90°,

О'Е\ = о'Е'г = О'Е

точки Fv Ft, Ft несобственные.

Такую дезаргову конфигурацию мы будем называть прямоуголь­ной равнобедренной.

Изображением пространственной дезарговой конфигурации служит плоская дезаргова конфигурация: у нее оси ОХ, OY и OZ лежат в одной плоскости (плоскости рисунка).

Для центральных проекций имеет место теорема, аналогичная теореме Польке — Шварца для параллельных проекций. Приведем эти теоремы в сопоставлении.

Вопрос. Можно ли, параллельно проектируя тетраэдр, получить наперед заданный четырехвершинник?

Ответ (теорема Польке—Шварца). Получить в точности данный четырехвершинник, вообще говоря, нельзя, но всегда можно получить его с однопараметрическим искажением, а именно: можно по­лучить четырехвершинник, подобный данному.

Если же говорить не о непосредственной параллельной проек­ции, а об изображении по методу параллельной проекции, то лю­бой четырехвершинник может служить изображением любого тет­раэдра.

Вопрос. Можно ли, центрально проектируя пространственную дезаргову конфигурацию, получить наперед заданную плоскую де- заргову конфигурацию?

Ответ (аналог теоремы Польке — Шварца для цен­тральной проекции). Получить в точности данную плоскую дезаргову конфигурацию, вообще говоря, нельзя, но всегда можно получить ее с двухпараметрическим искажением, а именно: можно получить плоскую дезаргову конфигурацию, унимодулярно аффиную1) данной 2).

Если же говорить не о непосредственной центральной проекции, а об изображении по методу центральной проекции, то любая плоская дезаргова конфигурация может служить изображением любой пространственной дезарговой конфигурации.

Чтобы построить изображение пространственной фигуры в сво­бодной центральной проекции, надо выделить в составе оригинала

>) Унимодулярно-аффинное (иначе: эквиаффинное) пре­образований— аффинное преобразование, сохраняющее неизменными пло­щади всех фигур.

2) См статью Н. М. Б е с к и н а, указанную в сноске на стр. 251.

 

Рис. 60.

пространственную дезаргову конфигурацию, и изобразить ее произ­вольно (т. е. произвольной плоской дезарговой конфигурацией). По­строение изображения произвольной точки М' показано на рис. 61. Прямая О'М' пересечет плоскости ЕхЕгЕх и FtFtF, соответственно в точках М'} и М'г. Изображение одной из них (например, Л1,) должно быть дано, а изображение другой можно построить (ниже будет объяснено почему). При реконструкции оригинала по рис. 61 мы прежде всего должны будем восстановить положение точек М'л и М'. Если бы мы имели только треугольник Е,ЕгЕ„ то положение точки м\

 

в плоскости этого треугольника не могло бы быть фиксировано проекгив-

но жестко, так как треугольник не определяет систему координат

в проективной плоскости. Здесь нам на помощь приходит прямая

tit / / /

пересечения плоскостей ЕхЕгЕг и FiFtF, (она называется дезар­говой прямой) Так как она принадлежит обеим плоскостям, то в каждой из этих плоскостей мы имеем четыре прямые: стороны тре­угольника EiE2Es (или FiF^F,) и дезаргова прямая. Четыре прямые образуют систему координат, и относительно нее можно проективно жестко фиксировать положение точки (а также М). Изображе­нием дезарговой прямой служит дезаргова прямая плоской конфигу­рации, т. е. прямая, на которой лежат точки

D^E^XFA.

D.^E.E.xF.F.

(согласно теореме Дезарга1) эти три точки лежат на одной прямой). Точка /И, занимает по отношению к четырем прямым (сто­роны треугольника £,£,£, и дезаргова прямая) проекгивно такое же положение, как точка М[ по отношению к соответствующим четырем

прямым (стороны треугольника ЕуЕгЕ, и дезаргова прямая).

Теперь можно объяснить, почему задание точки М[ на рис. 61 позволяет построить точку М\ В плоскости Е'Е'Е^ как только что было показано, мы имеем проективную систему координат. Поэтому положение точки Ж, относительно этой системы проективно фикси­ровано. Точка Мг относительно аналогичной системы координат

в плоскости £i£2£j занимает такое же положение, потому что эти две системы перспективны (центр перспективы — точка О').

Это можно записать так-

(е;. Е2,Е'„ d\ М[) (F[,F-2.F'„d',M'2)

(d'—дезаргова прямая). Отсюда следует

(£„ Ег, Е„ d, Mt) д (F„ f2. F„ d, Мг)

(d—дезаргова прямая плоской дезарговой конфигурации). Это последнее соотношение позволяет построить точку Mv если дана точка /И,. Мы. ие показываем построения.

Прямая задается своей проекцией с указанием двух уже задан­ных точек, например двух следов на плоскостях базисной дезарговой конфигурации. Плоскость задается следами на двух плоскостях ба­зисной конфигурации или на любых двух уже заданных плоскостях.

Можно также задавать любой элемент инцидентными ему точками, прямыми, плоскостями (уже заданными); например, можно задать плоскость тремя точками.

Рисунок, выполненный с соблюдением указанных правил, опреде­ляет оригинал лишь с точностью до проективного преобразования. В самом деле, истолковывая рисунок, можно в качестве оригинала базисной дезарговой конфигурации подразумевать любую простран­ственную дезаргову конфигурацию. Переход же от одной простран­ственной дезарговой конфигурации к другой определяет проективное преобразование пространства.

Если же снабдить рисунок примечанием, дающим реконструк­цию базисной конфигурации, то мы получим условное изображение, определяющее оригинал метрически точно Этот метод называется центральной аксонометрией. Центральная аксонометрия, как и параллельная, представляет собой метод изображения ориги-

') См. статью «Геометрические преобразования», стр. 130—133.

нала вместе с системой координат. Различие между центральной и параллельной аксонометрией заклюиаетсн в двух пунктах:

1)         система координат—не аффинная, а проективная,

2)         на изображении должна быть показана проективная (а не аффинная) связь небазисных элементов с базисом.

Рис. 62 — пример изображения по методу центральной аксономет­рии, если известны метрические параметры натуральной системы координат. Пусть, например, известно, что эта система—прямоуголь­ная равнобедренная, т. е.

Х'О' У' = /_ Y'O'Z' = £ Z'O'X' = 90°. О' Е\ = 0'Е'г = 0'Е)

 

Рис. 62.

точки F2, F, несобственные; /И, и Мг — следы прямой _ соответ­ственно на плоскостях Y'O'Z' и Z'O'X'. Третий след Ж, можно построить, и тогда положение точки М' на прямой проективно жестко фиксируется сложным отношением (М М ММ')\ это отношение на изо-

'12 3

бражении такое же, как в оригинале.

Теория свободных изображений играет важную роль в аэрофотограм­метрии. Имея снимок, сделанный с самолета, мы обычно не знаем пара­метров проектирующего аппарата. Если бы в момент фотографирования пло­скость фотопленки была параллельна плоскости земной поверхности, то мы получили 6.»i изображение, подобное орч-

гиналу. Положим теперь, что плоскость фотопленки наклонена к гори­зонтальной плоскости, причем угол наклона и другие параметры проек­тирующего аппарата неизвестны. Как дешифрировать снимок (т. е. по­строить по этому искаженному изображению метрически точный план местности)? Самый простой случай — когда на местности имеются че­тыре точки об.цего положения, положение которых нам заранее точно известно. Тогда этот четырехвершинник принимается за базисный, и снимок превращается в аксонометрическое изображение, по которому оригинал определяется метрически точно.

Центральной аксонометрией пользуются архитекторы, вычерчивая проекты зданий (речь идет об общем виде здания в целом). Это объясняется тем, что мы обычно рассматриваем здание с расстояния, которое невелико по сравнению с размерами самого здания. Поэтому изображение в параллельной аксонометрии показалось бы неправдо­подобным. так как изображение в параллельной проекции есть вид с очень большого (практически бесконечного) расстояния.