• загрузка...
    5

5.2. Проективные координаты.

загрузка...

 Полезно видеть четырехвершин- «ик и с иной точки зрения. На рис. 56 четырехвершинник ОЕхЕЕх дополнен двумя диаго­нальными точками F, и Ft- Задание точки общего поло­жения Е может быть заменено за­данием двух точек F, и Ft на прямых ОЕх и OEt. Две оси ОХ и OY и по две точки на каждой из них (кроме О) образуют про­ективную систему коор­динат. На рис. 57 дано сопоста­вление аффинной и проективной систем координат. На рис. 57, а показаны оси ОХ и OY и на каждой оси — ее единичная точка. Если М — любая точка плоскости, то для определения ее аффинных координат следует провести через нее прямые, параллельные осям X и У (т. е. прямые, проходящие через несобственные точки этих осей). Эти прямые определят на осях ОХ и OY точки Рх и Pt.

 

 

Отношения

_ ОР, _ OPz Х Of,' У~ОЁ1

суть аффинные координаты точки М.

На рис. 57,6 показаны оси ОХ и OY и на каждой оси по д в е точки (кроме О). Если /М —любая точка плоскости, то для опреде­ления ее проективных координат следует провести через нее пря­мые MF, и MFZ. Уже из этого ясно, что точки F, и Ft играют

Рис. 57

ту же роль, какую в аффинной системе координат играют несобст­венные точки осей. Эти прямые определят на осях ОХ и OY точки Рх и Рг. Сложные отношения

V = (OF Р Е\ = °Pl • 0Ел r 2l 2 L 2f 2

суть проективные координаты') точки М (при этом координаты х и у могут принимать и «значение» оо). Из этих формул видно, что

для точки О х = 0, » » х = 1, » » Fx х = оо.

Точка £ (рис. 56) имеет координаты д,'=1, у—1; она называется единичной точкой плоскости.

') Эти координаты называются неоднородными. Они обладают одним существенным дефектом: точки «бесконечно удаленной» (несобственной) прямой, не лежащие на осях OX, OY, имеют координаты *=оо, у= со и потому не различаются в этих координатах. Для устранения этого дефекта используются однородные проективные координаты (ср. стр. 118 этой книги ЭЭМ).

При удалении точек и Ft соответственно по осям Л" и У в бесконечность проективные координаты превращаются в аффинные.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я