• 5

§ 5. Центральные проекции

5.1. Свойства центральной проекции. Теория центральных про­екций сложнее теории параллельных проекций настолько, насколько проективное преобразование сложнее аффинного. Мы_ изложим неко­торые вопросы, относящиеся к центральным проекциям, исходя из тех же проблем, которые решались для параллельных проекций, и указывая, в чем заключается разница в ответах.

Центральная проекция строится следующим образом. Фиксируем в пространстве це н т р проекции 5 и плоскость проекцииа (рис. 54). Пусть /И'—любая точка пространства, отличная от Проводим прямую S/И' (проектирующая пря­мая); точка /И ее пересечения с плоскостью а считается изображением точки М'.

Центральную проекцию удобно рассма­тривать только в проективном пространстве (параллельную проекцию мы изучали в аф­финном пространстве). Если мы не введем несобственных (бесконечно удаленных) эле­ментов1), то нельзя будет утверждать, что всякая точка пространства имеет изображе­ние (потому что проектирующая прямая SM' может оказаться параллельной плоскости а). В проективном пространстве всякая точка (кроме 5) имеет изображение. При этом изображение собственной точки может ока­заться несобственной точкой и изображе­ние несобственной точки может оказаться собственной точкой.

Центральные проекции обладают следующими свойствами (срав­ните со свойствами 1—4 параллельных проекций, стр. 235—236):

1.         Каждой точке пространства, кроме центра проекции, одно­значно соответствует точка на (проективной!) плоскости а.

Конкурирующие точки — те, которые лежат на одной прямой, проходящей через 5.

2.         Прямая, если только она не проектирующая, изображается прямой; проектирующая прямая изображается точкой.

3.         Если точки А', В', С', D' принадлежат одной прямой (не проектирующей), то

АВ AD _ . A'D' ВС 1 DC~ В'С' '' D'C''

Иначе говоря: сложное отношение четырех точек, лежащих на одной прямой, есть инвариант центрального проектирования

') Ср. § 7 статьи «Геометрические преобразования», стр. 112—113 этой книги ЭЭМ.

 

Условимся теперь, что полученную в плоскости а центральную проекцию мы еще будем подвергать произвольному аффинному прео­бразованию1) (в плоскости а). Таким образом, изображение точки по методу центральных проекций не есть непосредственная, цен­тральная проекция этой точки.

Теперь, опуская доказательства, сопоставим свойства изображе­ний по методу центральной и параллельной проекций.

Изображая плоскую фигуру в параллельной проекции, можно произвольно изобразить любой треугольник, а в центральной про­екции— любой четырехвершинник2) (т. е. четыре точки общего положения в плоскости).

Если какой-нибудь четырехвершинник, входящий в состав плоской фигуры, уже изображен, то изображения всех остальных точек этой фигуры однозначно определяются (в параллельной проекции такую роль играл треугольник, или, что то же самое, «трехвершинник»). Пусть A'B'C'D'—оригинал (рис. 55,a), a ABCD — изображение (рис. 55,6); £", F', G'—диагональные точки четырехугольника A'B'C'D', Е, F, G—соответственные диагональные точки четырех­угольника ABCD. Пусть М'—еще одна точка оригинала. Прямая А'М' пересекает прямые В'С', C'D' и B'D' соответственно в точках X', Y' и Z'. Изображения этих точек вполне определены сложными отношениями, которые должны быть одинаковы в оригинале и в изо­бражении®)

(.BCFX) = (B'C'F'X').

Это равенство позволяет найти точку X. Аналогично находятся точки Y и Z. Впрочем, точки Y и Z можно найти как пересечения

■) Искажение, которому подвергается оригинал при замене его изобра­жением, принципиально не увеличилось бы, если бы мы подвергли полу­ченную проекцию не аффинному, а любому проективному преобразованию, потому что само центральное проектирование есть проективное пре­образование Мы ограничиваемся аффинным преобразованием (для боль­шой элементарности изложения) именно потому, что эта разница несу­щественна.

2) Мы говорим здесь о «четырехвершиннике», а не о четырехугольнике в сбычном смысле слова (который имеет четыре «стороны» и две «диаго­нали»), поскольку при центральном проектировании различие между «сторонами» и «.диагоналями» теряет смысл. Мы считаем, что четырехвер­шинник A'B'C'D' имеет три пары противоположных сторон А'В' и C'D', А'С' и B'D', A'D' и В'С' (всего шесть сторон). Каждая пара противо­положных сторон четырехвсршинника имеет точку пересечения, называе­мую его диагональной точкой. Всего, таким образом, у четырехвершинника есть три диагональных точки.

®) Символ (ABCD) обозначает сложное отношение

прямой АХ соответственно с прямыми DE и BD (ибо прямые пере­ходят в прямые, их точки пересечения — в точки пересечения). Положение точки М на прямой АХ определяется .из условия

(AXYM) = (A'X'Y'M') (вместо пары точек X. Y можно пользоваться парами К, Z или Z, X).

 

 

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я