• 5

3.7. Аксонометризация чертежа.

 Аксоно- метризацией чертежа называется добавление таких условий, относящихся к оригиналу, что чертеж становится метрически определенным.

Приведем пример. На рис. 42 показаны оси координат и плоскость, заданная следами. Чертеж этот определяет оригинал только с точ­ностью до аффинного преобразования. Пусть дано дополнительно,

') Подробности о вычислительном методе читатель может иайти ■ работе Н. М Бескина, Вычислительный метод построения изображений, сб. «Методы начертательной геометрии и ее приложения» под ред. Н. Ф. Чет- еерухина, М., 1955, стр. 83—99.

 

Рис. 41 ■к полному чертежу

■что система координат прямоугольная:

Х'О' У = Y'O'Z' = £ Z'O'X' = 90°. Это условие еще не делает чертеж аксонометрическим, потому что неизвестны отрезки О'А', О'В', О'С'.

Допустим, что требуется изобразить перпендикуляр, опущенный из начала координат на плоскость А'В'С'. Обозначим основание этого перпендикуляра через Р'. За Р (изображение точки Р') можно принять любую точку внутри треугольника ABC, это подтверждает метрическую неопределенность чертежа. Если бы ребра О'А', О'В'. О'С' были известны, то перпендикуляр ОР нельзя было бы изобра­зить произвольно: положение точки Р было бы вполне определенным.

Обратно, если мы на рис. 42 изобразим перпендикуляр, т. е. выберем произвольно точку Р, то определятся отношения ребер ОМ':О'В':О'С', т. е. чертеж станет метрически определенным с точно­стью до масштаба. Докажем это утверждение. Для этого покажем, что, задав любую точку Р внутри треугольника ABC, можно, и притом единственным образом, реконстру­ировать тетраэдр О'А'В'С' (с точ-         Рис. 42. ностью до масштаба).

Точка Р лежит внутри треугольника ABC потому, что высота тетраэдра с прямыми плоскими углами при вершине проходит через точку пересечения высот основания, а последняя точка в данном слу­чае лежит внутри потому, что треугольник А'В'С' остроугольный. В самом деле, квадраты его сторон суть

0'А'г + 0'В'г, О'В'* -(- О'С'', 0'С'* + 0'А'г,

и сумма любых двух из этих квадратов больше третьего.

На рис. 43, а отдельно изображен треугольник следов ABC рис. 42 и внутри него произвольно взята точка Р. Через нее проведены прямые AL, ВМ и CN.

Так как О'/3'—высота тетраэдра О'А'В'С', то, как было сказано выше, точка Р' есть точка пересечения высот треугольника А'В'С'. Значит, AL, ВМ и CN — изображения высот. Задача, стоящая перед нами, может быть теперь сформулирована так: дано аффинное изобра­жение треугольника с высотами (рис. 43, а) и требуется восстано­вить оригинал (с точностью до размера).

 

Неопределенность размера позволяет нам выбрать один отрезок произвольно; выберем сторону А'В' (рис. 43,6). Построим точку N'

ПО УСЛОВИЮ        Д'у AN

ТгТГ^Ш'

Затем восставим в точке N' перпендикуляр к А'В'; точка С' должна лежать на этом перпендикуляре.

 

Построим на А'В', как на диаметре, полуокружность. Точки L' и М' должны лежать на этой полуокружности, потому что

A'L'B' = В'М'А' = 90°.

Так как точки L' и С' должны удовлетворять условию

В'С' __ ВС B'V — BL '

то точка С' должна лежать на полуокружности, получающейся из построенной ранее полуокружности при помощи гомотетии')

с центром В' и коэффициентом ~ (отношение ~ нам известно

из рис. 43, а). Эту полуокружность легко построить, найдя на пря­мой А'В' точку S из условия

B'S _ВС В' A' BL

и приняв B'S за диаметр. Значит, точка С' есть точка пересечения этой полуокружности с перпендикуляром к прямой А'В' в точке N'. Тем самым треугольник А'Ь'С построен.

Чтобы не загромождать чертежа, дальнейшая реконструкция тетраэдра О' А'В'С' продолжена на отдельном рис. 43, е. На этом рисунке снова воспроизведен только что построенный треугольник А'В'С с высотами A'L', В'М' и СN'.

Согласно теореме о трех перпендикулярах точка V служит не только основанием высоты A'L', но и основанием высоты О'L' боковой грани О'В'С'. Поэтому, если построить развертку тетраэдра О'А'В'С', разрезав его по ребрам О'А', О'В' и О'С и совместив боковые грани с плоскостью основания, то точка О' попадет на продолжение высоты A'L'. Кроме того, эта точка должна лежать на полуокруж­ности, построенной на В'С' как на диаметре. На рис. 43, в показано построение точек О,, Ог и Oj, в которые перейдет общая вершина О' трех боковых граней при развертке.

Если даны некоторые метрические условия, касающиеся оригинала, недостаточные для того, чтобы чертеж стал метрически определенным, то получается частичная аксонометризация чертежа. Например, если известно, что на рис. 44 точки Р' и Q' лежат соответственно в нижней и верхней гранях параллелепипеда и прямая Р'Q' перпендикулярна этим граням, то рис. 44 частично аксономет- ризованный. Высоту параллелепипеда, проведенную из точки А', нельзя изобразить произвольно: ее надо чертить параллельно PQ. Высоту же грани A'B'C'D', проведенную из точки А', можно изо­бразить произвольно.

Частично аксонометризованный чертеж требует большой осторож­ности в обращении с ним, потому что на нем кое-что можно изобра­жать произвольно, а кое-что нельзя. Вот поучительный пример воз­можных здесь ошибок.

') Определение гомотетии см. на стр. 55 этой книги ЭЭМ.

В течение многих веков было принято изображать на рисунке плоскость в виде параллелограмма. При этом негласно предполагалось, что этот параллелограмм изображает прямоугольный кусок плоскости. Тем самым в рисунок вносилась частичная аксонометризация (показаны

два перпендикулярных направления). Эта частичная аксонометризация огра­ничивает свободу изображений в плоскости На это обстоятельство не обращали внимания, что приво дило к ошибкам. Поэтому за послед ние годы все больше распростра­няется обыкновение изображать ку­сок плоскости с оборванными краями.

Пусть, например, требуется изо­бразить правильную четырехуголь­ную пирамиду, стоящую на гори­зонтальной плоскости. Квадрат, слу­жащий основанием пирамиды, может быть изображен любым паралле­лограммом, нона рис. 45, я это положение неприменимо ввиду частичной аксонометризации. Рис. 45, а неправилен, потому что на нем два различных направления (AD и LO) изображают перпендикуляра к одному и тому же направлению {AB\\LM)- На рис. 45,6 то же

 

 

 

Рис. 45.

самое изображение правильной четырехугольной пирамиды показано на плоскости с оборванными краями; этот рисунок верен.

На рис. 46, а изображен прямой круговой конус. Рис. 46, а не­правилен. Его ошибочность обнаруживается, если провести два сопряженных диаметра эллипса, один из которых параллелен какому- нибудь «краю» плоскости. На рис. 46, a CD^LO, a AB-^LM- Рис. 46, б правилен.

Предостережем читателя еще от одной возможной ошибки. Каждый из рис. 45,6 и 46,6 в отдельности правилен, но если бы мы исполь­зовали оба эти изображения, показав правильную четырехугольную пирамиду и конус, стоящие на одной и той же плоскости, хотя бы

 

и с оборванными краями, то мы получили бы ошибочный рнсунок Пирамида (рис. 45,о) определяет метрику в плоскости основания, конус (рис. 46, б) тоже, и эти метрики не совпадают.

3.8. Ортогональная (прямоугольная) аксонометрия. До сих пор мы рассматривали свободные изображения. В инженерной практике весьма распространена аксонометрия с заданными параметрами.

Согласно геореме Польке — Шварца куб можно изобразить произ­вольно, например так, как на рис. 47 Между тем человек, не изу­чавший начертательной геометрии,        

не поверит, что это куб, так как   1

Это изображение не похоже на куб. с£—-Лг  с(

Это ставит перед нами вопрос: от \ \ чего зависит наглядность изобра-            \/

жения, т. е. сходство с оригиналом?

В параллельной проекции изо-  Рис. 47

бражение показывает оригинал так, как он виден наблюдателю, смотрящему с очень далекого расстояния вдоль проектирующих прямых. Самый процесс проектирования близок к геометрическому процессу зрения Однако при рассматривании любого предмета мы всегда помещаемся перед ним Плоскость изо­бражения следует вообразить перед предметом или за предметом. Все лучи зрения (при рассматривании издалека) перпендикулярны плоскости изображения. Поэтому самое наглядное изображение по­лучается при ортогональном или близком к ортогональному проектировании.

 

Возвращаясь к рис. 47, скажем, что для того, чтобы изображение было «похоже» на оригинал, надо, во-первых, чтобы оно было построено без нарушения геометрических правил (которые аналогичны законам зрения) и, во-вторых, чтобы оно давало вид оригинала с привычной точки зрения. Изображение куба на рис. 47 не удовлетворяет второму условию. Здесь глаз наблюдателя помещается чуть сверху, чуть впереди и очень далеко влево. Угол проектирующих лучей к пло-

т. е. проекция очень далека от орто-

характеризуется следующими па ра­

скос ти изображения оч=14° тональной.

Кроме угла о, аксонометрия метрами:

а, р, у — углы проектирующих лучей с натуральными осями. В аксонометрии принято называть натуральным все, что отно­сится к оригиналу, а аксонометрическим — все, чго относится

к изображению. Например, О'X', O'Y', О'Z'— натуральные оси, а ОХ, OY, OZ — аксонометрические оси.

р, q,r — показатели (коэф­фициенты) искажения. Так называются отношения аксонометри­

 

ческих единиц е1 = ОЕ1, ег — ОЕг, ег = ОЕ3 к натуральной единице е (она предполагается одинаковой по всем осям):

Рис. 4Я.

Р= ■ ' е

 

Г = -

(4)

Предостережем читателя от возможного недоразумения. В учеб­никах начертательной геометрии он может встретить утверждение, что в ортогональной аксонометрии (т. е. аксонометрии с углом а—90°) коэффициенты искажения связаны формулой

р« + 0« + г» = 2.

Разъясняем, что эта нормировка имеет силу лишь в том случае, если изображение есть непосредственная проекция оригинала на плоскость. Мы же рассматриваем метод изображения, заключающийся

') Здесь мы сталкиваемся с задачей: имея уже выполненное изображе­ние в параллельной проекции, найти параметры 'определяющие проекти рующий аппарат Например, зная, что на рис. 47 изображен куб, узнать угол о. Графическое решение этой задачи данэ в книге Е. А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина [2] (см список литературы в конце статьи) в § 9, а аналитическое — в статье А И Островского «Основные формулы параллельной аксонометрии» (Труды московского семинара по начерта­тельной геометрии и инженерной графике, Москва, 1958, стр. 108—110).

(5)

в параллельном проектировании и последующем подобном преобразо­вании. В этом случае все коэффициенты искажения могут быть заданы произвольно, однако с соблюдением неравенств: квадрат любого коэффициента искажения не превышает суммы квадратов двух других.

Углы между аксонометрическими осями (рис. 48) принято обозна­чать так:

Z.XOY = со,, /_YOZ = tо„ /_ZOX= со2, со, + co2 + со, = 2я.

Между перечисленными параметрами существуют связи. Выбирая какую-нибудь ортогональную аксонометрическую проекцию, естест­веннее всего задаться коэффициентами искажения. Заметим, что если все коэффициенты искажения различны, то изображение называется триметр и чески м, если два из них одинаковы, а третий отличен от них, то диметрическнм, если все три одинаковы, то изо­метрическим.

Если все коэффициенты искажения заданы, то остальные пара­метры выражаются так:

sin и =

УУ + <72 + '2'

Vp+яг + гг V~2-r

siny =

(6)

sin CO, =

V~P* + 4* + r* V(p2 + q* + r*){-p* + q* + r*)

sin CO, =

2qr

У(Р* + д2+г*) (p2-g2+Q

2 rp

V(P* + c? + r2) (p' + qz-rs) Ipq

(7)

Если проектирующий луч ОО' проходит в первом октанте, то углы о>,,со2 и со, — тупые. Вывод этих формул вполне элементарен, и мы его не приводим.

Выбирая параметры ортогональной аксонометрии, мы исходим из того, какие размеры должны иметь изображения ребер базисного куба, т. е. куба с вершиной О' и ребрами, идущими по осям О'X', O'Y', О'Z'. При этом следует различать два случая. Первый — когда

18 Энциклопедия, кн. 4

базисный куб имеет определенные размеры. Например, его ребро е= 1 м, а размеры изображения должны быть е, = 1 см, е2 = ег = 2 сл«. В этом случае коэффициенты искажения определяются точно

р = 0,01, q = r — 0,02.

 

Второй случай — когда размеры базисного куба не указаны, т е.

требуется какой-нибудь куб (с ребрами, парал лельными координатным осям) изобразить так, чтобы было ef = 1 см, е2 = е, = 2 см. В этом случае коэффициенты искажения определяются только с точностью до множителя, т. е. опреде­ляются только их отно­шения

Рис. 49.

Можно, например, поло­жить р= 1, q = r—'2. Выбор множителя несунц ствен, потому что пра­вые части формул (6) и (7) однородны относи льно р, q. г. Полагая р= 1, q = r= 2, вычислим, напри ер, со,, со2, со,:

sin со, =         0,9922,

3

sin со2 = sin со, .

Учитывая, что углы со,, со2 и со, тупые, наедем

со, =^97° 11'^ 97°, сог = со,^131°25'^131°

(рис. 49). Мы видим, что выбор коэффициентов искажения в орто­гональной аксонометрии вполне определяет углы между аксономет­рическими осями.

Рассмотрим еще чрезвычайно употребительную систему—орто­гональную изометрию. Полагая p=q = r= 1, получим

sin а = sin р = sin у = ~\f \ >

Гз

sin СО, = Sill C02 — Sin CO, = —g- .

В этом случае со, = со2 = со, = 120°. Изображение системы координат показано на рис. 50. Куб выглядит, как показано на рис. 51. Как

видно, а = р = у, т. е. направление проектирующих прямых совпа­дает с направлением диагонали куба. Все это дает следующую

геометрическую картину: надо провести плоскость изображения пер­пендикулярно диагонали куба и проектировать на нее по направлению, параллельному этой диагонали. Тогда получится такое изображение, как на рис. 51. Из двух вершин куба, лежащих на проектирующей диагонали, одна заслоняет другую.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я