• 5

3.6. Общие методы построения аксонометрических изобра жений.

 Выше мы рассмотрели некоторые отдельные примеры построе­ния аксон шетрических изображений, а теперь перейдем к общим методам.

Покажем два из них, наиболее простые по идее:

1)         метод координатной сетки и

2)         вычислительный

Метод координатной сетки основан на том, что, имея изображе­ние координатной системы, можно построить изображение точки, если известны ее координаты. Эти координаты без пересчета откла­дываются параллельно аксонометрическим осям, причем для каждой оси употребляется своя аксонометрическая единица.

 

Построим в ортогональной диметрип') изображение прямой шести­угольной призмы, из которой вырезан прямой круговой цилиндр. Оси этих тел совпадают. Сторона основания призмы равна е, радиус

основания цилиндра равен высота обоих 1ел равна 2е.

Пусть призма стоит на плоскости X'Y', ось ее расположена на оси Z' и пара противоположных вершин основания лежит на оси X' Тогда вершины основания имеют координаты

(1,0,0), (I, о), I.           о), (— 1, 0,0),

(_ . ,     о). (1. - 1?, о)

(здесь положено е= 1).

На рис. 36 эти точки построены по аксонометрической коорди­натной сетке. Разумеется, по координатам построены только первые две точки, а остальные — на основании симметрии. Вершины верхнего основания должны быть подняты параллельно оси Z на 2е. После этого получится рис. 37.

 

 

 

Заметим теперь, что для построения изображения методом коор­динатной сетки вовсе нет необходимости знать координаты точек оригинала. Можно копировать оригинал графически. На рис. 38, а изображена окружность, ее диаметр разделен на десять частей. На рис. 38, б взят координатный репер, соответствующий рис. 37 (для наглядности он увеличен в три раза); по осям X и К отложены

') Ортогональная диметр ия—вид аксонометрии, в котором координатная сетка—такая, как изображена на рис. 49. При рассмотрении этого примера особенности ортогональной диметрии не играют никакой роли; просто мы должны задаться любой координатной сеткой.

отрезки ~ и -у Точки окружности переносятся на рис. 38, б

в такое же положение по новой сетке, какое они занимали на рис. 38, а по старой сетке. Новую сетку можно было бы сразу нанести на рис. 37 на верхнее и нижнее основания призмы. Получится рис. 39; оси координат не обозначены.

 

 

 

 

 

 

           

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

\

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

/

\

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

\

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

Рис. 38.

Метод координатной сетки имеет то неудобство, что приходится предварительно строить эту сетку. Это загромождает рисунок лиш­ними линиями, которые потом приходится стирать, и значительно уменьшает точность.

От этих недостатков свободен вычислительный метод, заклю­чающийся в вычислении прямоугольных координат точек изобра­жения и в нанесении этих точек на миллиме г ровке.

Изображение есть аффинное отображение ори­гинала. Следовательно, координаты точек изобра жения—линейные функции координат точек ори­гинала '). Введем на плоскости изображения прямо­угольную декартову систему координат т]). Тогда

 

т\=аг1х' +аг2у'

;' + в„*'. I

(1)

 

где х', у', z'— координаты точки оригинала,    Рис. 39.

а          Т]—координаты ее изображения. Сво­

бодные члены положены равными нулю. Это значит, что за на­чало координат системы (£, т|) принято изображение точки

У =/ = *'= 0.

') Ср. § 3 статьи «Геометрические нреобра^ованил», стр. 75 — 77 этой К1Ш1 и ЭЭМ.

г

Н3

Коэффициенты в формулах (1) могут быть определены, если задаться изображением базисного тетраэдра. Возьмем, например,

ортогональную изометрию1). Если наложить соответствующий репер на систему (£, т]), то получится рис. 40. Обозначим размер аксоно­метрических единиц через

ОЕх = ОЕ2 = ОЕ, = е

Тогда точка имеет в системе

(I, т]) координаты £ =          ,

Рис 40           Ее оригинал Ел имеет

координаты х'=\, у'= 0, z = 0. Повторяя это сопоставление для точек Ех и £а, заключаем:

 

точка

/ е \Г з е \

(1, 0, 0) переходит в точку ( — —^—, ——),

» (0,1,0) » » » (ЦХ —

» (0, 0, 1)

(0, е).

Подставляя эти координаты в формулы (1), мы получим систему шести уравнений относительно шести известных а(/, из которой определим все коэффициенты:

 

Гз

а

V 3

2 * 11 2

е          е

а., = 0,

ai2 = — J •

-е.

2 '

Следовательно, формулы (1) для ортогональной изометрии примут вид t е

Л=у[2z'-{x'+y')].

(2)

Изобразим в ортогональной изометрии тело, показанное на рис. 39. Прежде всего надо выбрать желаемый размер рисунка. Положим,

') См. стр. 273. Ортогональная изометрия имеет аксоно­метрический репер, показанный на рис. 50.

например, е = 25 мм и запишем формулы (2) гак:

Б = 21,65 or-*'), \

т)=12,5[2 g'-lxf+y')]. \            (3>

Формулы (3) дают £ и т) прямо в миллиметрах. Запишем координаты вершин призмы (пока только нижнего основания).

№ точки

X'

и'

г'

1

1.000

0,000

и

2

0,500

0,866

0

3

—0,500

0,866

0

4

-1 000

0,000

0

5

—0,500

—0,866

0

6

0,500

—0.866

0

Подставляя эти координаты в формулы (3), получим следующую' таблицу (в ней £ и ц даны до десятых долей миллиметра; это максимальная точность, которую может реализовать на глаз опытный чертежник при работе на миллиметровке).

 

 

 

 

точки

1

ч

точки

 

Т|

1

-21,7

—12.5

4

21,7

12,5

2

7,9

-17,1

5

— 7.9

17,1

3

29,6

— 4,6

6

—29,6

4,6

Вершины верхнего основания отличаются от вершин нижнего основания тем, что для них г'=2. Из формул (3) ясно, что для изображений значения | будут те же, а значения Т) увеличатся на 50 мм. Мы не приводим соответствующих таблиц.

Для изображения выреза возьмем на окружности точки через каждые 30°. На практике их берут значительно чаще, но мы здесь только иллюстрируем сущность метода. Координаты точек окружности (нижней) вычисляются по формулам:

x' = yCOS/, у'= sin г, г'= 0.

Таблица справа (на стр. 266) дает координаты точек изображе­ния; т), относится к нижнему основанию цилиндра, а т]2—к верхнему- Величины т}, и ц, связаны очень просто:

т)2 - Г|, -г 50.

 

 

 

Е

 

 

точки

х'

 

г'

точки

ч.

42

1

0,500

0,000

0

1

—10,8

-6,3

43,7

ч

0,433

0,250

0

2

— 4,0

-8,5

41,5

3

0,250

0,433

0

3

4,0

—8,5

41,5

4

0,000

0,500

0

4

10,8

-6,3

43,7

5

—0,250

0,433

0

5

14,8

-2,3

41,7

6

—0,433

0,250

0

6

14,8

2,3

52,3

7

—0,500

0,000

0

7

10,8

6 3

56,3

8

-0,433

—0,250

0

8

4,0

8,5

58,5

9

—0,250

—0,433

0

9

- 4,0

3,5

58,5

10

0,000

—0,500

0

10

-10,8

6,3

56,3

11

0,250

—0,433

0

11

-14,8

2,3

52,3

12

0,433

—0,250

0

12

— 14,8

—2,3

41,7

Теперь остается взять миллиметровку и наносить точки по коор­динатам (£, Г]). Получим рис. 41 ').

Читатель должен иметь в виду, что мы выбрали очень простые примеры, желая только иллюстрировать метод координатной сетки и вычислительный метод. Эти методы, особенно вычислительный, предназначены для сложных оригиналов. Рассмотренный здесь оригинал можно изобразить более элементарными спосо­бами. В частности, когда изображение шестит угольника уже построено, то можно соединить его центр с вершинами и соединительные отрезки разделить пополам. Эллипс проходит через середины этих отрезков. Кроме того, можно указать направления, сопряженные по­строенным относительно этого эллипса. По этим данным эллипс строится гораздо протце, чем это сделано в тексте.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я