• 5

Теорема 4.

 Если изображение полное и содержит изобра­жение базисного тетраэдра, то оно определяет оригинал с точ­ностью до аффинного преобразования, т. е. позволяет ответить на всякий вопрос, касающийся аффинных свойств оригинала.

Как же придать рисунку полную определенность, т. е. сделать его метрически определенным? В рамках метода «Параллельные

проекции на одну плоскость» для этого применяется особая разно­видность этого метода, называющаяся параллельной аксоно­метрией; для краткости мы пока будем называть ее просто аксонометрией.

Аксонометрия заключается в том, что к полному изображению, содержащему изображение базисного тетраэдра, добавляется сло­весное примечание, указывающее метрические параметры этого тетраэдра, т. е. указывается, как принято говорить в начертательной геометрии, реконструкция этого тетраэдра.

Мы уже говорили что изображение тетраэдра может считаться изображением любого тетраэдра. Воспользовавшись этой неопреде­ленностью, выберем какой-нибудь тетраэдр и объявим, что имею­щееся на рисунке изображение базисного тетраэдра есть изображе­ние именно этого тетраэдра.

Возьмем какой-нибудь, тетраэдр A'B'C'D' указанных размеров. Всякое аффинное преобразование, оставляющее точки А', В', С', D' на месте, есть тождественное преобразование, т. е. оно оставляет на месте все точки пространства. Значит, вместе с точками АВ', С', D' займут фиксированные положения все лишние элементы ори­гинала, т. е. оригинал метрически определен.

Например, рис. 29, дополненный следующей реконструкцией ба­зисного тетраэдра:

ВАС= 50°, АВ=Ъ1 см,

CAD = 60°, АС= 40 см,

DAB =90°, AD= 58 см,

становится метрически определенным. Он определяет оригинал пол­ностью, т. е. позволяет ответить на любые вопросы, касающиеся оригинала, например, каков угол прямой А'М' с плоскостью B'C'D'.

Итак, аксонометрия есть метод изображения, характеризую­щийся следующими четырьмя признаками:

1)         изображение строится по методу параллельной ') проекции на одну плоскость,

2)         оно полное,

3)         оно содержит изображение базисного тетраэдра,

4)         к изображению дополнительно прилагается реконструкция базисного тетраэдра.

Аксонометрическое изображение есть изображение метрически определенное, т. е. оно определяет оригинал полностью.

В учебниках начертательной геометрии аксонометрия рассматри­вается с несколько иной точки зрения. Оригинал связывается с не-

') Мы пока говорим о параллельной аксонометрии. Суще­ствует еще нейтральная аксонометрия, о которой говорится ниже (стр. 282).

17 Энциклопедия, кн. 4

которой системой координа! и затем вместе с этой системой коорди­нат проектируется на плоскость изображения. При этом на изоб­ражении должна быть показана аффинная связь всех элементов оригинала с системой координат. Само слово «аксонометрия» значит

«измерение по осям» (от греческих слов a£cov — ось, peTQsco — измеряю). Изображение иа рис.31—аксономе­трическое, если, например, дано, что система координат прямоуголь­ная, единицы масштаба по всем осям одинаковые и каждая из них равна 1 см. Легко узнать длину отрезка А'В'. Это ясно из того, что по рисунку можно измерить коорди­наты точек А' и В'

 

Рис. 31.

А' (2, 2, 2), В'(4, 5, 4).

Ясно, что такое понимание аксонометрии вполне совпадает с дан­ным выше определением, потому что задание изображения системы координат равносильно заданию изображе­ния базисного тетраэдра.

Координатная система на аксонометри­ческих рисунках часто задается не при помощи осей OX, OY и OZ, а при помощи изображения разных предметов (большей частью — куба), размеры которых известны. Если, например, известно, что нижнее тело, изображенное на рис. 32, есть куб с ребром 1 м, то можно утверждать, что на нем стоит правильная шестиугольная призма (обратить внимание, в каких отношениях вершины шестиугольника делят стороны квадрата!) вы­сота которой равна 50 см, и боковые грани которой — квадраты.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я