• 5

3.3. Понятие о параллельной аксонометрии.

Назначение всякого изображения—дать представление об оригинале. В лучшем случае изображение представляет оригинал исчерпывающим образом, т. е. имея изображение, можно ответить на любой (геометрический) вопрос, относящийся к оригиналу. Это значит, что оригинал определяется метрически, т. е. с точностью до движения в про­странстве. Бывают изображения, которые определяют оршинал

 

Рис. 29.

Рис. 30.

 

с меньшей точностью, т. е. позволяют ответить на некоторые, но не на все геометрические вопросы, относящиеся к оригиналу.

Сейчас мы ответим на вопрос, в какой мере разные методы изо­бражения позволяют судить об оригинале.

Полное изображение позволяет восстановить оригинал с точностью до аффинного преобразования, потому что оно позволяет построить все элементы, аффинно связанные с оригиналом. Другими словами, полное изображение позволяет ответить на любой относя­щийся к оригиналу вопрос, имеющий аффинный характер. Например, имея на полном чертеже изображение трех точек, лежащих на одной прямой, мы можем ответить, каково (в оригинале) отношение этих точек, но мы не можем ответить на вопрос, является ли треугольник, изображенный на некотором рисунке, правильным (если только нам не известны еще какие-нибудь свойства изображения, кроме полноты).

Неполные изображения не позволяют судить об оригинале даже с точностью до аффинного преобразования.

Какие нужны условия, чтобы изображение определяло оригинал более точно? На рис. 24 показано изображение тетраэдра. Согласно теореме Польке—Шварца этот рисунок может быть изображением любого тетраэдра. Значит, имея рис. 24, мы ничего не можем ска­зать о тетраэдре-оригинале. С другой стороны, любой тетраэдр А'В'C'D' может быть переведен в любой другой тетраэдр А'^ССУ аффинным преобразованием. Следовательно, рис. 24 определяет ори­гинал лишь с точностью до аффинного преобразования.

Рассмотрим теперь рис. 29. На нем, кроме базисного тетраэдра, изображена точка М' по правилам, установленным для полного изображения. Изображение базисного тетраэдра может относиться к любому тетраэдру, например к A'B'C'D' или к ^BjCjDj. Какой бы из этих двух тетраэдров мы ни выбрали, в пространстве одно­значно определится некоторая точка, аффинно связанная с этим тетраэдром так, как это показано на рисунке. В первом случае это будет точка М', а во втором M't. Аффинное преобразование, переводящее тетраэдр А'В'CD' в тетраэдр djfi] С7У, переводит точку М' в Л^, т. е. система точек A'B'C'D'М' получается из системы A'^Cfi'/И, афинным преобразованием. Это рассуждение может быть проведено для любого элемента,имеющего жесткую аффинную связь с базисом. Поэтому справедлива следующая георема (аналогичная теореме 2).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я