• 5

§ 3. Параллельная аксонометрия

3.1. Теорема Польке — Шварца. Изображение пространственных фигур по методу параллельной проекции на одну плоскость во мно­гом аналогично изображению плоских фнг>р.

Прежде всего возникает вопрос, может ли пространственный аффинный репер быть изображен произвольно? Другими словами имеют ли место теоремы (об изображении пространственных тел), аналогичные теоремам 1 и 2?

Пространственный аффинный репер это — упорядоченная тройка векторов (некомпланарных, т. е. не лежащих в одной плоскости), выходящих из одной точки (рис. 20; сравнить с рис. 14).

Ясно, что задание этого репера равносильно заданию аффинной системы координат (рис. 21; сравнить с рис. 13), т. е. упорядоченной тройки осей О'Л", О'У' и О'Z', на которых отмечены единицы мае штаба О'Е,, 0'Ег и O'Ej.

Рис. 20 или 21 можно дополнить до пространственной аффинной

 

Наконец, ясно, что в составе любой из фигур рис. 20, 21 и 22 имеется тетраэдр с упорядоченными вершинами (например, тетраэдр О'ЕхЕгЕ, на рис. 21), который опргделяет всю фигуру. Таким образом, тетраэдр А'В'C'D' (рис. 23; сравнить с рис. 12, а) может быть пре­вращен в систему рис.21, если условиться, что А' — начало коорди­нат, А'В' (в направлении от А' к В')—ось X' и т. д.

Читатель должен видеть, что рис. 20, 21, 22 и 23 представляют разные способы задания аффинной системы координат. Например, аффинный репер рис. 20 можно мыслить как тетраэдр, в котором «проведены» только ребра, выходящие из одной вершины.

При изображении пространственных фигур, так же как и при изображении плоских фигур, основной вопрос—это вопрос о том, как изобразить аффинный репер. Если мы сумеем изобразить его, го сумеем изобразить и любые фигуры, потому что всякая точка сверх четырех основных может быть инвариантно связана с этим репером (она занимает определенное положение в сетке парал­лелепипедов, показанной на рис. 22).

Аффинный репер, показанный на рис. 20, изображается на плос­кости тремя отрезками, выходящими из одной точки. Поэтому упо­мянутый вопрос формулируется так: могут ли произвольные1) три

 

Рнс. 22.

отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, служить изобра­жением трех наперед заданных отрезков в пространстве, выходящих, из одной точки в пространстве?

Если дополнить фигуру рис. 20 до тетраэдра, то изображение примет вид четырехугольника с диагоналями. Иначе эта фигура называется полным четырехвершинником или полным четырехугольником: четыре точки плоскости общего положения и все шесть определяемых ими прямых. На рис. 24, а показан выпуклый, а на рис. 24, б— невыпуклый четы­рехугольник ABCD с диагоналями АС и BD.

Поставленный выше вопрос относительно трех отрезков можно сформулировать и так: может ли произвольный полный четырехугольник служить изображением наперед заданного тетраэдра?

Ответ на поставленный вопрос утвердительный, следующая теорема, аналогичная теореме 1.

Теорема 3 (теорема Польке — Шварца). Любой полный четырехугольник ABCD может служить изображением любого тетраэдра A'B'C'D'.

Интересующая нас теорема впервые была высказана в 1853 г. немецким геометром Карлом Польке в следующей форме: «три

 

Рис. 23. Имеет

место

') Т. е. произвольных длин и образующие между собою произвольные- углы.

 

 

 

отрезка а'х', а'у', л'г' произвольной длины, лежащие в одной плос­кости, выходящие из одной точки а под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков ах, ау, аг, отложенных на прямоугольных осях координат от начала». Доказательство Польке было чрезвычайно сложным и неэлементарным. Оно не было опубликовано, но содержание его до нас дошло В 1864 г. один из известных математиков того времени Герман Лмандус IIJ в а р ц (ученик Польке^ обнаружил, что перпендикулярность

и равенство отрезков О'А', О'В' и О'С' несу­щественны, т. е. теорему Польке можно обобщить следующим образом: если О'А', О'В' и О'С —три произвольных отрезка в пространстве '), выхо­де дящих из одной точки, a OA, ОВ и ОС—три б)           произвольных отрезка на

плоскости, выходящих Рис- 24_            из одной точки, то фи­

гуру (OA, О В, ОС) мож­но рассматривать как параллельную проекцию фигуры, подобной {О'А', О'В', О'С). Это значит, что можно фигуру (О'А', О'В', О'С)

1)         подобно изменить с надлежащим коэффициентом подобия,

2)         надлежащим образом переместить в пространстве,

3)         надлежащим образом выбрать направление проектирования, и тогда проекцией окажется заданная фигура (OA, ОВ, ОС).

Вместо подобного изменения оригинала можно было бы произво­дить подобное изменение проекции.

Мы не будем исследовать вопрос о том, определяются ли все перечисленные шаги однозначно. Скажем только, что первый шаг — да. а второй и третий — нет.

Только что приведенную теорему можно сформулировать и гак:

Любой полный четырехугольник можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра, подобного наперед заданному.

Или

Любой тетраэдр можно параллельно спроектировать на плос­кость так. что получится полный четырехугольник, подобный наперед гаданному.

Эта теорема (в любой из трех приведенных формулировок) назы­вается теоремой Польке — Шварца. Шварц не только обобщил теорему

') Т е. отрезки любых длин, обгазующие между собой любые углы, однако не лежащие в одной плоскости

Польке, но и дал простое и элементарное доказательство. Мы не будем приводить доказательство этой теоремы, потому что оно ши­роко распространено в учебной литературе по начертательной геомет­рии. Доказа [ельство теоремы Польке — Шварца можно найги, например, в указанных в конце статьи книгах [1, 2]').

В приведенных формулировках теоремы Польке — Шварца упоми­нается подобие. Это объясняется тем, что непосредственным про­ектированием данного тетраэдра получить в точности данный пол­ный четырехугольник, вообще говоря, нельзя: например, из большого тетраэдра нельзя получить маленький четырехугольник. Однако в той формулировке теоремы Польке—Шварца, ко­торую мы выбрали за основную (теооема 3) подобие не упоми­нается. Эго объясняется тем, что изучаемый нами метод изо­бражения включает параллель­ное проекгирование и кроме того подобное преобразование.

Приведем несколько поло­жений, которыми мы будем       Рис. 25. пользоваться при построении

изображений и которые суть разные аспекты теоремы Польке — Шварца.

1)         Изображая любую аффинную систему координат, можно начертить изображения осей под любыми углами и на каждом изображении оси принять произвольный отрегок са изображение масштабной единицы (рис. 25). Напомним, что в аффинной системе координат масштабы на разных осях могут быть разные.

В частности, рис. 25 может рассматриваться как изображение декартовой прямоугольной системы координат. Аффинная система координат называется декартовой прямоугольной, если ее оси взаимно перпендикулярны и

О'Е = 0'Г = 0'Е.

I           2          J

2)         Рис. 9 может рассматриваться как изображение любого пара ыелепипеда, в частности — как изображение куба с данным ребром.

3)         Рис. 24 может рассматриваться как изображение любого тетраэдра.

') С историей этой теоремы можно ознакомиться по статье Н. М. Вес­ки н а, Основное предложение аксонометрии, сб «Вопросы современной начертательной геометрии», под ред. Н. Ф. Четьерухпна, М.—Л., Гостех- нздат, 1947, стр. 55—126.

 

3.2. Полные и неполные изображения. Изображая любую про­странственную фигуру, надо выбрать в составе этой фигуры четыре точки общего положения (т. е. четыре точки, не лежащие в одной плоскости) и их изобразить произвольно. Остальные точки этой фигуры уже не могут изображаться произвольно. Перейдем к воп­росу, как они должны изображаться.

Для изображения плоских фигур аналогичный вопрос решался теоремой 2 (см. рис 12). При изображении пространственных фигур дело обстоит иначе, и мы прежде всего выясним, в чем заключается различие.

Пусть оригинал—плоская фигура. А', В', С'— три точки этой фигуры, а А, В, С—их изображения. Пусть М'—четвертая точка оригинала. Тогда прямая А'М' пересекает прямую В'С' в некоторой точке X', и изображение этой точки может быть построено (рис. 12).

Пусть теперь оригинал — пространственная фигура, А', В', С'. D'—четыре точки этой фигуры, а А, В, С, D — их изображения. Пусть М'—пятая точка оригинала. Тогда прямая А'М', вообще говоря, не пересекает прямых В'С', C'D' и D'B' (в этом различие!), а пересекает лишь плоскость B'C'D' в некоторой точке X'. Однако изображение X этой точки не может быть построено, если известны только точки А, В, С, D.

Более полно, пусть мы имеем некоторый оригинал, т. е. сово­купность точек, прямых, плоскостей, отрезков, треугольников и. т. д. По всем этим элементам, входящим в оригинал, мы можем одно­значно определить еще некоторые другие элементы, жестко связанные с оригиналом. Например, имея в оригинале две точки, мы можем провести соединяющую их прямую, имея три точки, можем опреде­лить проходящую через них плоскость, имея прямую и плоскость, можем найти их точку пересечения и т. д. Найдя новые точки, жестко связанные с оригиналом, мы можем проводить прямые и плоскости и через них, далее мы можем найти линию пересечения, скажем, плоскости, входящей в состав оригинала, и уже найденной плоскости, жестко связанной с ним, и т. п. В:е получающиеся таким путем новые элементы (прямые, точки и др.) мы будем называть элементами, связанными с оригиналом. Все они однозначно опреде­ляются заданием оригинала.

Возникает естественный вопрос, можно ли все эти элементы, связанные с оригиналом, найти на изображении, точнее говоря, можно ли однозначно построить изображение элементов, связанных с ори­гиналом," имея лишь рисунок (т. е. изображение) самого оригинала? При этом, конечно, речь будет идти об изображении точек, прямых и их комбинаций, так как плоскости могут быть заданы на рисунке лишь находящимися в них точками и прямыми.

Мы сталкиваемся здесь со следующим фактом, имеющим важные последствия для теории изображений. При изображении плоских

фигур всякий элемент (прямая, точка или их комбинация), связанный с оригиналом, определен однозначно и на изображении (на рисунке), а для изображения пространственных фигур это, вообще говоря, не так (ср. рис. 13 и относящийся к нему текст).

Поясним сказанное примерами. Пусть в составе плоской фигуры имеются две прямые а' и b', а на рисунке — их изображения а и Ь. Прямые а' и Ь', если они пересекаются, определяют точку пересе­чения. Их изображения а и Ь, если они пересекаются, тоже опреде­ляют точку пересечения. Другими словами, если мы уже изобразили прямые а' и b' прямыми а и Ь, то мы не можем точку пересечения прямых а' и Ь' изобразить произвольно; ее изображением должна служить вполне определенная точка, а именно точка пересечения прямых а и Ь. В

Следующий пример покажет, что для пространственных фигур дело обстоит иначе. На рис. 26 легко узнать изображение фигуры, о которой шла речь на стр. 252: тетраэдр А'В'С D' и пятая точка М'\ проведены так­же отрезки В'М', С'М', D'M'. Прямая А'М' (изображение которой не показано) пересе-          Рис. 26.

кает плоскость B'C'D' в некоторой точке X'.

В оригинале эта точка вполне определена, а ее изображение X на рисунке не определено. Более того, точку X можно выбрать на пря­мой AM произвольно.

Вот еще пример. На рис 27 дано изображение системы координат и, кроме того, некоторой точки М'. Если через точку М' провести пря­мую, параллельную оси Z', то она изобразится прямой, параллельной оси Z. В оригинале эта прямая пересечет плоскость О'А" К' во вполне определенной точке, а на рисунке мы не можем построить изо­бражение этой точки; это изображение может быть отмечено про­извольно.

Отмеченное свойство называется неполнотой рисунка (изобра­жения). Изображение называется полным, если всякий элемент (прямая, точка, их комбинация), связанный с оригиналом, опре­делен однозначно и на изображении. Таким образом, рис. 26 и 27 неполные. Мы в дальнейшем будем рассматривать только полные изображения ').

Изображение четырех (или меньшего числа) точек общего поло­жения всегда полное. Пусть теперь оригинал содержит более

') Относительно неполных изображений см книгу Н. Ф. Четверу- х и н а «Изображения пространственных фигур в курсе геометрии», ука­занную в конце статьи, и его же статью «Полные и неполные изображе­ния» в сборнике, указанном в сноске на стр. 251.

 

 

Рис. 27.

четырех точек общего положения и пусть А, В, С, D—изображения четырех точек А', В', С', D' оригинала, принятых за базис. Для полноты изображения необходимо и достаточно, чтобы для всех остальной элементов имеющихся на рисунке, была показана их

жесткая аффинная связь с базисом.

Именно точки А', В', С', D' (изобра­жения А, В, С, D которых заданы), соеди­няющие их прямые А'В', В'D' и т. д., а также плоскости А'В'С', A'C'D' и т. д. считаются заданными (т. е. имеющими жесткую аффинную связь с базисом). Еслш уже известно некоторое количество за­данных (т.е. жестко аффинно связанных, с базисом) точек, прямых и плоскостей,, то новые точки, прямые и плоскости счита­ются жестко аффинно связанными с базисом< (т. е. заданными) в следующих случаях

Точка считается заданной, если дано ее изображение и указана проходящая через нее заданная плоскость (или прямая). Точка также считается заданной, если она указана как точка пересечения двух заданных прямых или прямой и плоскости, или трех заданных плоскостей.

Прямая считается заданной, если дано ее изображение и указана: проходящая через нее заданная плоскость. Прямая также счи­тается заданной, если заданы: две ее точки или одна ее точка и парпл лельная ей прямая, или две проходящие через нее плоскости и т. д.

Наконец. плоскость считается заданной, если указаны три лежащие в ней заданные точки или лежащие в ней заданные точка и прямая, или ле­жащая в ней заданная точка и параллельная ей заданная плоскость и т. д.

Разберем несколько примеров.

На рис. 28 ABCD — изображение базиса. Прямая X'Y' задана, потому что на рисунке показаны изображения ее следов на плоскостях D'B'C' и D'C'A' (точки X и Y). Точка М' задана, потому что- дано ее изображение и она лежит на заданной прямой.

Рис. 28 полный. На Пример, в оригинале существует точка Z' пересечения прямой X'Y' с плоскостью А'В'С. Изображение этой

 

Рис. 28.

точки тоже однозначно определено. Построение этого изображения Z показано на рисунке.

На рис. 29 точка М' аффинно привязана к базисному тетраэдру более простым способом.

На рис. 30 изображена система осей О'X'. О' Y'. О'Z'. Единицы масштаба не изображены, т. е. на этом рисунке нет изображения базисного тетраэдра. Через точку Ж' проведены прямые, параллель­ные осям OX', O'Y' и О'/"; точки пересечения этих прямых с плоскостями Z'Y', Z'X' и X' Y' обозначим соответственно чере* М\, М'г и Af. Их изображения Ж,, Ж2 и Ж,, т. е. изображения оснований точки Ж', в этом случае (т. е. применительно именно к рис 30) называются вторичными проекциями точки Ж'.

Такое название объясняется тем, что в самом оригинале происходит проектирование точки М' на плоскости Y'Z', Z'X' и Х'У'. а затем полученные проекции Ж', Ж' и Жз вместе со всем оригиналом проектируются на плоскость изображения.

Для того чтобы изображение было полным, достаточно задать кроме Ж еще одну вторичную проекцию. Остальные две легко строятся.

Из того, что на рис. 30 нет изображения аффинного базиса, вы текает некоторый дефект этого рисунка: он не определяет оригинал метрически (см. 3.7).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я