• 5

Доказательство.

 Пусть С—точка, не лежащая на прямой АВ (такая существует в силу аксиомы 3°). В силу аксиомы 10° существует на прямой АС такая точка D. что С лежит между А и D. Точка D не совпадает с В, так как иначе две различные пря­мые АВ, АС имели две общие точки А, В, что невозможно (аксиома 1°). В силу аксиомы 10° существует на прямой BD такая точка Е, что В лежит между D и Е. Прямая СЕ не проходит ни через одну из точек А, В, D. (Если бы, например, прямая СЕ проходила через А, то она совпадала бы с прямой АС; следовательно, точки А, С, D, Е лежали бы на одной прямой; на этой же прямой DE лежала бы и точка В, т. е. точки А, В, С лежали бы на одной прямой, что невозможно.) Так как прямая СЕ имеет с отрезком AD общую точку С, то она имеет общую точку с одним из отрезков АВ, BD

(аксиома 11°). Так как точка В лежит между Г) и Е, то точка Е не лежит на отрезке BD (аксиома 9°). Если мы допустим, что пря­мая СЕ имеет обшую точку F с отрезком BD, то Т=^=Е (ибо Е не лежит на отрезке BD), и потому прямые СЕ и BD имеют две общие точки Е, F. Но тогда прямые CF и ED совпадают (аксиома 1°), что невозможно. Итак, прямая СЕ не может иметь общие точки с отрез­ком BD, и потому в силу сказанного выше она должна иметь общую точку И с отрезком АВ. Эта точка Н отлична от А и В (так как прямая СЕ не проходит через точки А, В). Таким образом, на отрезке АВ существует точка И, отличная от А и В, т. е. сущест­вует точка Н, лежащая между А и В.

Из приведенных доказательств теорем 1 и 2 ясно видно, что собой представляют доказательства с помощью аксиом Эти доказа­тельства не нуждаются в пояснительном чертеже и не предполагают, что мы представляем себе некоторую модель геометрии Евклида. Это и понятно, ведь в аксиомах перечисляется все, что мы должны знать об основных понятиях геометрии. Ясно также, что перечень аксиом у Евклида является далеко не полным (помимо того, что смысл его первых определений весьма туманный): Евклид существенно пользовался чертежом при доказательствах, и такое предложение, как аксиома 11°, для него было очевидным (прямая, входящая в треугольник через одну его сторону, должна выйти из тре­угольника через вторую или третью сторону). Таким образом, хотя у Евклида имеются начала аксиоматического метода, но при дока- затепьствах Евклид неявно пользуется «очевидными» свойствами, не перечисленными в его аксиомах.

Имея в виду, что читатель ясно представил себе характер дока­зательств, проводимых на основании аксиом, мы ие будем утруждать его дальнейшими доказательствами, а ограничимся формулировками теорем, которые можно доказать с помощью аксиом 1°—11° и уже доказанных теорем 1 и 2.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я