• 5

Доказательство.

 Соединим точку М' с какой-нибудь из точек А', В', С', например с А'. Прямая А'М' пересечет сторону В'С' (или ее продолжение) в точке А" (рис. 12, а). Изображение точки X' однозначно определяется: оно должно лежать на прямой ВС и делить отрезок ВС в том же отношении, в каком точка А" 1елит отрезок В' С', т. е.

ВХ В'Х' ХС - Х'С'

Построив точку X, мы можем провести прямую АХ (рис. 12, б). Точка М должна лежать на этой прямой; ее положение определяется пропорцией

АМ_А'М' АХ ~ А'Х' •

(рис. 12, е).

') Не лежащих на одной прямой.

Заметим, что если прямая А'М' окажется параллельной В'С', то прямая AM также должна быть параллельной ВС, и пол >жение точки М определится из пропорции

Изложенный способ нахождения точки М есть не что иное, как нахождение точки по ее аффинным координатам. Сейчас мы разовьем эту аналогию подробно.

Как известно, треугольник с упорядоченными вершинами определяет а фф и н н у ю с и с т е м у координат Иначе говоря, тройка некочли- неарных точек есть минимальная система точек, обладающая следующим свойством: всякое аффинное преобразование плоскости, оставля-

местах все точки плоскости. Это н значит, что всякая точка пло­скости может быгьаффинно связана с данной тройкой точек, 1. е. положения разных точек относительно данной тройки аффинно различимы.

Аффинную систему координат изображают различными способами, и читатель может не догааагьсн, что во всех случаях мы имеем треугольник с упорядоченными вершинами, так как его задание может быть замаскировано другими обэзначениямн или объясняться с другой точки зрения. На рис. 13 мы видим привычное изображение аффинной системы координат: оси ОХ и OY, на которых отмечены единицы масштаба ОНл и ОЕг. Эта система вполне определяется заданием упорядоченной тройки точек О, Ех. Таким образом, треугольник ABC может бить превращен в систему рис. 13, если условиться, что А—начало координат, АВ(в направлении от А к В) — ось X, АС (в направлении от А к С) — ось Y, отрезки АВ и АС — единицы масштаба.

Иногда аффинную систему координа г задают двумя неколлииеарными векторами е, и ег, выходящими и» очной точки (р>к 14 -)та фигура называется аффинным репером, в ней мы узнаем треуго 1ьпик, [в*

AM __ А'М' ВС — В'С'

 

ющее эти точки на своих ме­стах, представляет собой то­ждественное преобразппчие, т. е. онj оставляет ни своих

 

Рис 13

Рис. 14.

в котором «не проведена» третья сторона. Наконец, весьма удобно дополнить рис. 13 или 14 до аффинной сетки. Для этого единицы масштаба по каждой оси повторяются неограниченное число раз и через их концы проводятся прямые, параллельные осям (рис. 15). Ясно, что эта сетка из равных параллелограммов вполне определяется заданием трех точек О, Ev Еш.

Теперь вернемся снова к теореме 2 и взглянем на нее с несколько иной точки зрения. Исходя из треугольника А'В'С' (рис. 12, а), построим аффинную сетку. Точно так же построим аффинную сетку, исходя из треугольника ABC. Точка /И должна занимать на второй

сетке таксе же1) поло­жение, как точка М' на первой сетке. Этот способ особенно удобен, когда приходится строить изо­бражения фигур непра­вильной формы.

Все сказанное может быть выражено так:

Пусть изображения­ми трех нек о л линеарных точек А', В', С' плоской фигуры служат три нек о л линеарные точки А, В, С. В таком случае Рнс. 15.    изображением любой

точки М' этой фигуры служит точка М, которая имеет относительно репера (АВ, АС) те же самые координаты, какие имеет точка М' относительно репера (А'В'. А'С').

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я