• 5

2.3. Жесткие и свободные изображения.

 При изучении метода параллельной проекции на одну плоскость, как и при изучении лю­бого метода изображений, возникают следующие задачи.

1.         Как, зная оригинал, построить изображение?

2.         Как, имея изображение, судить об оригинале? При этом вовсе не очевидно, да и не всегда (не при любом мгтоде изображения) верно, что, имея изображение, можно ответить на любой вопрос, относящийся к оригиналу.

Приступая к разбору этих задач, заметим, что они допускают два различных толкования в зависимости от того, имеем ли мы:

а)         жесткое изображение или

б)         свободное изображение.

') Искажение, которому подвергается оригинал при замене его изобра­жением нисколько не увеличилось бы, если бы мы подвергли полученную проекцию не подобному а любому аффинному преобразованию, потому что само параллельное проектирование есть аффинное отображение. Мы ограничиваемся подобным преобразованием (для большей элементарности изложения) именно потому, что эт.: разница несущественна.

Изображение называется жестким, если нзвестны все параметры, характеризующие метод изображения и положение оригинала.

Пусть, например, требуется построить изображение куба, ребро которого равно 1 м. Метод параллельной проекции на одну плоскость характеризуется двумя параметрами, а именно:

1)         углом о наклона проектирующих прямых к плоскости изоб­ражения ');

2)         коэффициентом подобия k, т. е. множителем, на который умножаются все отрезки, полученные в плоскости изображения в ре­зультате проектирования.

Положение куба определяется в случае ортогональной проекции двумя параметрами. Можно, например, задать углы а, |3, у проекти­рующего луча с ребрами куба, выходящими из одной вершины. Эти углы связаны соотношением

cos2 a -f cos2 р -)- cos2 у = 1,

и потому среди трех углов а, |3, у имеется два независимых параметра.

Можно взглянуть на дело и с такой точки зрения. Положение твердого тела в прострэнстве определяется шестью параметрами. Однако любые параллельные переносы этого тела не влияют на проек­цию (они вызывают только параллельный -перенос этой проекции в плоскости изображения); эти движения зависят от трех параметров. Кроме того, повороты тела вокруг оси, совпадающей с проектиру­ющей прямой, в случае ортогональной проекции тоже не влияют на проекцию, вызывая лишь повороты изображения; эти дви­жения зависят от одного параметра. Получаем: 6 — 3 — 1=2. Если проекция косоугольная, то повороты тела вокруг проектирующей прямой уже меняют вид изображения, и положение тела в этом случае зависит от трех параметров.

Допустим, что все эти параметры заданы, например:

о = 61°, 6 = 0,04; а = 45°, р = 61°, у = 59°.

При таких параметрах куб с ребром 1 М изобразится так, как по­казано на рис. 10.

При построении жестких изображений задание оригинала пол­ностью определяет изображение. Верно и обратное. Зная пара­метра, характеризующие проектирующий аппарат и положение оригинала, мы бы могли определить метрические параметры парал­лелепипеда, изображенного на рис. 9,6.

') При С= 90° проекция называется прямоугольной или ортого­нальной, при а ^ 90° — косоугольной.

Жесткие изображения находят применение в инженерной практи­ке. Методы получения таких изображений излагаются в учебниках начертательной геометрии. Параметры большей частью задаются не аналитически, а графически, т. е. элементы оригинала и проектирую­щего аппарата показываются на рисунке. Однако несравненно большее значение имеют свободные изображения.

Изображение называется свободным, если при его построении параметры, определяющие проектирующий аппарат и положение оригинала, неизвестны. Построить свободное изображение куба — зна­чит изобразить куб, безразлично как расположенный, и безразлично

под каким углом спроектированный на плоскость, и безразлично с каким после­дующим изменением размеров.

Разумеется, различие между жесткими и свободными изображениями заключается не в виде этих изображений, а в способе их получения. Так, изображение куба на рис. 10 построено по заданным парамет­рам, т. е. оно жесткое. Но если бы, желая к а к-н и б у д ь изобразить куб, мы начер­тили рис. 10, то это было бы для нас сво­бодное изображение куба.

Рис. 10.         Методы построения жестких и свобод­

ных изображений совершенно различны.

Во всех случаях использования изображений с иллюстративной целью приходится строить свободные изображения. Если учитель математики для иллюстрации какой-нибудь теоремы чертит на доске изображение куба с данным ребром, то ему безразлично, как рас­положен в пространстве оригинал и под каким углом наклонены к плоскости доски проектирующие прямые. Ему лишь важно, чтобы его изображение было «похоже» на куб. Но что это значит? Это значит, что существует такая система значений параметров о, k и параметров, характеризующих положение куба, при которой изобра­жение куба с данным ребром будет именно таково.

Мы не будем излагать теорию получения жестких изображений как имеющую узко специальное значение. Отсылаем читателя к учебникам начертательной геометрии. Зато владение теорией свобод­ных изображений совершенно необходимо каждому учителю матема­тики. Мы изложим эту теорию подробно.

2.4. Изображение плоских фшур. В качестве пропедевтики мы начнем с изображений плоских фигур, расположенных в пространстве. Можно считать, что плоская фигура входит в состав подлежащей изображению пространственной фигуры (например, как одна из граней пирамиды). Если бы требовалось изобразить только одну плоскую фигуру, то мы могли бы изобразить ее без искажения.

 

Правила изображения плоских фигур основаны на следующей теореме.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я