• 5

Отметим некоторые свойства, характерные для метода параллельных проекций.

 

Доказательства мы во всех случаях предоставляем читателю

1.         Каждой точке пространства однозначно соответствует точка на плоскости а. Разумеется, это соответствие не взаимно однозначно. Все точки, принадлежащие одной проектирующей прямой, имеют одно и то же изображение.

При всех методах изображения точки, имеющие одно и то же изображение, называются конкурирующими точками. В па­раллельной проекции конкурирующие точки — те, которые лежат на одной проектирующей прямой.

2.         Прямая, если только она не проектирующая, имеет в ка­честве своего изображения также прямую линию-, проектирующая прямая изображается точкой.

Поясним, что все геометрические фигуры мы мыслим составлен­ными из точек. Поэтому под изображением прямой следует понимать множество изображений всех ее точек.

3.         Параллельные прямые, если только они не проектирующие и не лежат в одной проектирующей плоскости (т. е. плоскости

 

параллельной прямой а), изображаются параллельными прямыми. Отсюда следует, что изображение параллелограмма—параллелограмм (который может вырождаться в отрезок).

4. Если точки 4', В', С принадлежат одной прямой (не про­ектирующей), то

АВ       А' В'

ВС~ В'С' ■

Точно так же, если А'В' и C'D'—отрезки, лежащие на парал­лельных (не проектирующих) прямых, то

АВ       А'В'

CD ~ C'D' ■

Предложения 2—4 можно также сформулировать несколько иначе. Оригинал обладает различными свойствами. При параллельном проек­тировании некоторые из этих свойств, вообще говоря, теряются, т. е. не переносятся на изображение, а другие свойства сохраняются. Последние свойства называются инвариантными относительно параллельного проектирования '). Всякий параметр, характеризующий оригинал и не меняющий своего значения ни при каком параллель­ном проектировании, называется инвариантом параллельного проектирования.

Пользуясь этими понятиями, можно свойства 2—4 сформулиро­вать так:

2'. Свойство трех (или большего числа) точек «лежать на одной прямот инвариантно относительно параллельного проек­тирования, т. е. если три точки оригинала обладают этим свойст­вом, то их изображения также обладают этим свойством !).

3'. Свойство двух прямых «быть параллельными» инвариантно относительно параллельного проектирования.

4'. Простое отношение трех точек, лежащих на одной пря­мой, есть инвариант параллельного проектирования. Инвариантом также является отношение двух отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.

Из всего изложенного ясно, что параллельное проектирование есть аффинное отображение®), но это отображение вырож­денное, так как оно уменьшает размерность оригинала: точки трех­мерного пространства преобразуются в точки плоскости.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я