• 5

3.5. Квадратура круга.

 Задача 5. Дан круг; построить квад­рат, равновеликий этому кругу.

Мы уже упоминали, что эта задача тоже неразрешима с помощью циркуля и линейки. Однако природа этой неразрешимости совер­шенно не такая, как у разобранных до сих пор задач.

Как обычно, радиус круга можно считать единичным; дело сво­дится тогда к построению квадрата площади я, т е. отрезка длины }/~я. Если бы мы могли построить отрезок длины я, то-мы могли бы построить и отрезок длины |/~я, и наоборот. Таким образом, истинная трудность задачи о квадратуре круга заключается в зада­че о спрямлении (полуокружности, т. е. в построении отрезка длины я.

Мы пришли к вопросу: принадлежит ли число я допустимому расширению поля рациональных чисел Q?

В прежних задачах отрицательный ответ на такого рода вопросы получался так: искомое число было корнем какого-то многочлена с рациональными коэффициентами, и дальше мы старались применить к этому многочлену или к его делителю теорему 2' (или теорему 2). В этом месте стоит напомнить и обратный результат: если число х принадлежит допустимому расширению поля К, то оно, во всяком случае, является корнем какого-то многочлена с коэффициентами в поле К (этот результат справедлив для любых конечных расширений поля К, а всякое допустимое расширение, по определению, конечно).

Оказывается, что число it не является корнем вообще ника­кого многочлена с рациональными коэффициентами. Принято выра­жать это, называя число it трансцендентным1).

Доказательство трансцендентности числа л использует трудные аналитические и арифметические средства. Из этого доказательства и следует невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, и даже с помощью ряда других чертежных средств (напри­мер, лекал, ограниченных отрезками алгебраических кривых над полем рациональных чисел, которые дают возможность удвоить куб или произвести трисекцию угла).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я