• 5

3 4. Построение правильных многоугольников.

 Задача 4 Дана ок­ружность радиуса единица, требуется вписать в нее правильный много­угольник с заданным числом сторон.

Пусть число сторон равно п: в удобной системе координат задача сво­дится к построению корней п-й степени из единицы, т е корней много­члена г"—1 Этот многочлен безусловно приводим: он всегда делится на

п

г—1, и даже на г 2 + 1, если п четно. Согласно общему правилу, следует разложить многочлен г" — 1 на неприводимые множители, однако мы сна­чала несколько упростим задачу, пользуясь се геометрическим истолко­ванием

Пусть n = pq, где р, q—взаимно простые целые числа, оба не равные единице Покажем, что если можно построить циркулем и линей­кой правильный п-угольник, то можно постротакже пракш Лин ле р-уголь­ни к и q-угольник, и наоборот, если можно not троить правильнее р-уголь- ник и q-угольник, то можно построить и правильней pq-цгольнич. Первое утверждение очевидно, второе вытекает из того, что если е, (t — 1, , р), т)Д/ = 1, . , q) — все корни из едииицм р-й и q-vi степени соответственно, то попарные произведения е/Ц/ представляют собой все корни из единицы pq-it степени. Отсюда следует, что достаточно разобрать вопрос о много­угольниках с рк сторонами, где р — простое число, a k 1—любое целое положительное число.

Если р = 2, то при любом <? все корни многочлена ** —I принадле­жат допустимым расширениям поля (?(() (и, значит, поля Читателю полезно проперить это утверждение алгебраически, геометрически оно вы­текает из того, что любую дугу можно разделить циркулем и линейкой на '2к равных частей.

к          *-i        k-\

Пусть теперь р^З.Прежде всего хр —1 =(хр — I) (лгр р~ + ... + 1). Корни первого множителя—это псе непервообразные корни из еди­ницы р4-й степени. Для построения р*-угольника неооходимо уметь

15 Энциклопедия, ки. 4

строить хотя бы один первообразный корень; этого и достаточно, потому

что тогда все остальные корни будут его степенями. Поэтому остается

выяснить, принадлежат ли допустимому расширению поля Q (/) (или, что

к-1 ft-i

все равно, поля Q) корни многочлена хр <р и + хр р *'+. . +1.

Ответ (по крайней мере, частичный) получить очень легко, если при­нять без доказательства, что этот многочлен неприводим (существует ряд доказательств этого факта, и все они используют довольно тонкие ариф­метические соображения,— причиной неразрешимости геометрической задачи в конечном счете оказываются снова некоторые свойства целых чисел!). Тогда из теоремы 2 (стр. 219) следует, что если pft_l(p— Г) ^ 2", то пра­вильный р''-угольник нельзя построить циркулем и линейкой.

Тем самым устанавливается, что если р -угольник можно построить, то либо р — 2, либо р > 2, и тогда обязательно k = \ и р —1=2". Из того, что мы доказали, однако, нельзя заключить, что если р = 2" + 1 — простое число, то правильный р-угольник можно построить циркулем и лине кой. Это утверждение на самом деле справедливо, и оно было впервые доказано Гауссом. При п~ 1 получается число р = 2'-|-1=3; при п = 2—число р — 5; при п = 3 получаем не простое число 23-f-l=9; при п = 4 получаем р = 17. Возможность построить циркулем и линейкой правильный 17-угольник вообще не была известна до работы Гаусса, и найти такое построение с помощью только геометрической интуиции очень трудно, если не невоз­можно. В алгебраической формулировке дело сводится к установлению того, что корни 17-й степени из единицы можно выразить через числа поля Q (;) с помощью извлечения квадратных корней; это — задача не лег­кая, но вполне доступная для изложения даже на этих страницах и, по существу, не требующая никаких дополнительных знаний Мы, однако, оставим этот вопрос в стороне.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я