• 5

Задача 3.

 Построить равнобедренный треугольник по дан­ным отрезкам биссектрис его углов от вершин до противоле­жащих сторон.

Воспользуемся одной общей формулой, вывод которой предо­ставим читателю.

Пусть дан треугольник с полупериметром р и углами а, р, у; гогда длина биссектрисы угла а равна

. Р . V sin f- sin -L-

/ = 2 p 5                      (8)

a ^ a 6—V      y

cos у cos t-y!

(Подобные же формулы, конечно, справедливы для и- / .)

В нашем случае Р = у» отрезки /а и заданы. Можно считать, что /р=1; длину отрезка для краткости обозначим просто бук­вой I. Если бы мы могли построить циркулем и линейкой искомый

треугольник, то мы могли бы построить также отрезок длины siny

Из формулы (8) мы выведем сейчас, что число sin у является кор­нем кубического многочлена над полем Q(l) и что при некоторых рациональных значениях величины / этот многочлен неприводим. Таким образом, соответствующая задача неразрешима. (Убедитесь, что тем не менее при всех /, 0</<оо, искомый треугольник су­ществует!)

Применим формулу (8) к L и отыщем отношение ~- = I, учитывая,

что Р = у. Тогда получим

. р р a—р       р р а —р Зр

S1I1 COS-^- COS    Sin COS-^j- COS—Sin-Jj-

/ =—£  £          — = —-           1          £_ =—£_ - (9)

a a

sin -y cos-y    cos p sin P    2 cos p

|мы снова пользовались тем, что треугольник равнобедренный и,

значит, -у — - Положим siny = x; тогда sin^p=3x — 4л:5;

cos|3=1—2хг. Из равенства (9) вытекает, что х является корнем уравнения    4х>-41х>-Зх+ 21 = 0.            (10)

') См., например,Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И.М.Я г л о м, Избранные задати и теоремы элементарной математики, ч 2(М., Гостех- нздат, 1952), задача 96 и ее решение.

Удобно взять 1 = 3 и произвести замену переменного, положив у= 2х — 2. Число у является тогда корнем уравнения

у'— 15у — 10 = 0.

Как и прежде, для доказательства неприводимости многочлена у*—15у—10 достаточно установить, что у него нет рационального

корня. Пусть такой корень есть, и он равен , где р, q—взаимно

простые целые числа. Тогда

р* = 5q* (Зр + 2q),

следовательно, р = Ьг, где г — целое число, так что

25r' = q*(\5r+2q).

Но последнее равенство невозможно, потому что q не делится на 5-

Наконец, разберем вкратце еще две классические задачи. Для полного их исследования изложенной выше теории оказывается не­достаточно, и некоторые необходимые результаты нам придется при нять без доказательства.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я