• 5

3.2. Трисекция угла.

 3 а д а- '1 а 2. Дан 'угол <р; построить 1

угол уф.

Задать угол ф — значит задать гри точки: точку 0 — его вершину, точку 1 на одной из сторон, кото­рую мы примем за вещественную ось, и точку z, лежащую на дру-         Рис. 9.

гой стороне и имеющую модуль

\z |=1 (рис. 9). О'евидно, z= соэф + i sin ф. Таким образом, поле К, соответствующее заданной системе точек, имеет вид

 

K=Q(i, cos ф-И sin ф). Построить угол ^ —значит построить число

Ф . го  Ф

cos-g--|-fsin-g- или, что равносильно, построить число cos-j- . В сил\ известных формул тригонометрии,

cos ф == cos 2 -у + -j- j = cos 2 cos -у — sin 2 -у sin =

= ^ 2 cos*       1 ^ cos-|—2 sin cos sin -|- =

= 2 cos* -cos + 2 ( 1 - cos* |-) cos f

или

cos <p = 4cos'           3 cos -y .

Таким образом, число cos -у является корнем уравнения

4х* — Зх — cos ф = 0.        (6i

Итак, мы должны построить корень уравнения (6). Перед нами снова многочлен третьей степени; мы должны ра зобраться, приводим ли он над полем K=Q(i, cos <p + i sin ф). При некоторых значениях ф он, безусловно, приводим; например, при

Ф=-5-, К= Q{i):

4х* —Зх — cos = 4х® — Зх= х (4л:* — 3).

Это соответствует хорошо известному обстоятельству: прямой угол можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки (при желании читатель может осущест^ть «алгебраически» это по­строение, решив уравнение 4х*— 3 = 0 и построив его корни).

Можно придать точный смысл следующему утверждению, устанав ливающему в некотором смысле противоположный результат: при общем значении ф многочлен 4xs—Зх — cos ф не привод им нал полем К= Q{i, cos ф-Ь/sin ф).

Слово «общий» в этой фразе можно определять разными спосо­бами; обсуждение этих способов и доказательство завели бы нас слишком далеко. Поэтому ограничимся указанием конкретного зна­чения угла ф, который нельзя циркулем и линейкой разделить на

три равные части. Это — угол ф =. Для доказательства слеаует

установить, что при ф = -д многочлен, стоящий в левой части урав нения (6), непрнводим над полем

Q (i, cos-^-+/sin-j) = (?(/, ± +            = |/3),

т. е., что левая часть уравнения

8х'— 6х— 1=0          (7)

является неприводимым многочленом над полем Q(i,       Если мы

докажем, что многочлен 8vrs — 6х—1 неприводим над полем раци­ональных чисел Q, то отсюда будет следовать, что он неприводим и над полем Q(i, j/З), потому что любое допустимое расширение поля Q(/, V3) является допустимым расширением поля Q.

Решая задачу об удвоении куба, мы уже установили, что для доказательства неприводимости кубического многочлена над полем рациональных чисел достаточно установить, что у него нет рациональ­ных корней. Предположим, что такой корень есть; положим            , где р, q — целые взаимно простые числа. Из равенства (7) находим

ps-3pq2 = q°,

так что q* делится на р и, значит, />=±1. Тогда q удовлетворяет уравнению #'±39* Я-1 = 0: так как q — целое число, то оно должно быть делителем свободного члена этого уравнения, так что если це­лый корень есть, он равен ±1. Но, очевидно, соответствующие

значения х = не являются решениями уравнения (7). Следова­тельно, оно вовсе не имеет рациональных решений.

Итак, циркулем и линейкой нельзя разделить на три равные ча

сти угол -^-=60°, т. е. нельзя построить угол -^---^- = 20°.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я