• 5

Задача 1.

 Задан куб (длиной своего ребра). Требуется по­строить другой куб (т е. его ребро), объем которого вдвое больше объема данного куба.

Начало исследования очевидно. Даны две точки (ребро куба). Как обычно, принимаем их за точки 0 и 1 на комплексной плоскости. Длина ребра удвоенного куба равна вещественному значению у/2; для построения точки у/2 мы должны изучить многочлен х'—2. Степень его равна трем, и если он неприводим над основным полем К= Q(i) (Q—поле рациональных чисел), то задача удвоения куба неразрешима. Докажем, что многочлен Xs—2 действительно непри­водим.

Если бы многочлен Xs — 2 был приводим над полем Q(i), то один из множителей обязательно был бы первой степени. Если бы соответствующий корень не был вещественным, то выделился бы и другой множитель первой степени с сопряженным корнем, а остав­шийся третий множитель был бы линейным и имел бы уже вещест­венный корень. Это рассуждение применимо к любому многочлену третьей степени с вещественными коэффициентами: если такой многочлен приводим над полем Q{i), то один из множителей линеен и имеет вещественный, а следовательно, даже рациональный корень.

Но многочлен л;5—2 не имеет рационального корня, потому что единственное вещественное значение у/ 2 иррационально.

Напомним доказательство этого факта. Допустим, что У 2 — pq, где р, q — взаимно простые целые числа. Тогда р' = 2q', так что число р должно быть четным; пусть р = 2рх, тогда 4p\ = q* и, следовательно, число q тоже должно быть четным, а это про­тиворечит тому, что р и q взаимно просты.

Интересно, что на последней стадии решения геометрической задачи нам пришлось воспользоваться даже чисто арифметическими соображениями, хотя пока и не очень сложными!

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я