• 5

§ 3. Классические задачи

3.1. Удвоение куба. Теперь мы уже можем применить развитую общую теорию к ряду геометрических задач. Наша основная цель состояла в том, чтобы научиться доказывать неразрешимость неко­торых задач, т. е. невозможность построить ряд геометрических объектов с помощью циркуля и линейки. В соответствии с этим и подобраны примеры.

Главным нашим инструментом будет теорема 2. Ход исследования всякой задачи следующий: мы переводим ее на алгебраический язык, составляем уравнения для искомых точек, выясняем их степень и непри­водимость. Если степень не равна 2", а многочлен неприводим, то искомую точку (см. теорему 2), нельзя построить с помощью циркуля и линейки, так что соответствующая задача на построение неразрешима *).

') В такой формулировке этот результат представляется даже более сильным — заранее совсем неочевидно, что вся/конечное расширение L^ К имеет вид L= К где 0—корень неприводимого многочлена. Это. однако, можно доказать. Нам это утверждение не понадобится, потому что из доказательства переформулированной теоремы 2, во всяком случае, теорема 2 сразу же следует.

') Читатель, ограничившийся ранее изучением теорем 1' и 2', будет рассуждать так: если многочлен неприводим, а его степень равна трем, то искомую точку, как явствует из теоремы 2', нельзя построить с помо­щью циркуля и линейки, так что соответствующая задача на построение неразрешима. Это позволяет полностью понять приведенные в тексте за дачи 1, 2, 3.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я