• 5

Теорема 2.

 Если корни неприводимого над полем К много­члена Ф (х) принадлежат допустимому расширению, то степень этого многочлена равна 2". где п ^ 1 — некоторое целое число.

Из этой теоремы снова следует, что корни неприводимых многочленов степени 3 вообще не могут принадлежать допустимым расширениям, потому что Ъф2п ни при каком целом значении я1).

Хотя в формулировке теоремы 0 участвуют такие понятия, как много­член и его корни, появляющиеся в результате непосредственных подсчетов, в дока ательстве удобно работать не с отдельными числами, а с полями. Дело здесь обстоит так же, как и в доказательстве основ ой леммы п. 2.1.

Для переформулировки условия теоремы на языке теории полей возь­мем какой-нибудь один корень 0 многочлена Ф(*) и рассмотрим расшире­ние К (Я) поля К Ясно, что если то и K(fl)c/f Обратное утвержд!ние тоже, очевидно, справедливо. Поле К (0) удобно тем, что в его терминах нетрудно выразить и понятие «степень многочлена Ф(у)»: она просто совпадает со степенью конечного расширения (/((в) К). [На­помним. что это означает. Любое конечное расширение/, поля К является линейным пространством конечной размерности г) над этим полем. Иначе говоря, существуют такие п элементов ... , \n£L, образующие базис поля L над полем К, что любой элемент X поля L представляется одно­значно в виде Х = + ... + knXn. rue k,. .. &„£;/( Число п называется степенью расширения и обозначается символом (L K)■ В случае, когда L = /Cv1)» в качестве элементов X, всегда можно взять просто степени числа 0, т. е. элементы 1 =6Ь, В    В"-1, где п — степень многочле­на Ф (*).]

') При первом чтении статьи рекомендуем после чтения этого места обратиться к геометрическим следствиям (§ ЗУ

'■') См. статью «Векторные пространства и линейные преобразования» в кн. II ЭЭМ.

Теперь мы можем следующим образом переформулировать теорему 2: если расширение Лэ К поля К содержится в допустимом расширении поля К. то степень (L К) равна 2", где л ^ 1—ц"лое число').

Нам понадобится следующий простой результат. Пусть KC.LC.M—це почка конечных расширений Положим I = (L:K), т = (М :К). п — (М :L) Тогда

m = /n (5)

Доказывают это равенство обычно следу ющим образом Пусть X,, ... Д,

— базис поля L над полем К', р-,            |г„ — базис поля М над полем L

Тогда элементы (Х,ц,,        ...         ..          т. е. совокупность

всевозможных попарных произведений         образуют базис поля М над

полем К. Но количество элементов в этом базисе, совпадающее со степенью (М :К)—т, в точности равно In.

Из равенства (5) уже сразу следует теорема 2. В самом деле, пусть L = /((Vrz)— квадратичное расширение поля Л*. Тогда степень его равна в точности 2, потому что в качестве базиса расширения L над К можно взять элементы (1,         Поэтому степень любого допустимого расширения

к=я0<=к1с...ся1В=л:', /(,-=/(,_,(V^V.).

равна (в силу соотношения (5)) 2т. Но тогда степень (L:K) любого рас ширения L поля К, содержащегося в допустимом расширении К', должна (снова из-за соотношения (5)) делить число 2т. Поэтому (L:K) = 2", Os^nsSm. Теорема 2 доказана.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я