• 5

2.4. Случай многочленов третьей степени.

 Пусть Ф(х) = = х' -f- рх2 -f- дх -(- г — неприводимый многочлен третьей степени с коэффициентами в поле К, т. е. гакой многочлен, что его нельзя разложить в произведение двух многочленов с коэффициентами из поля К, один из которых имеет степень 1, а другой—степень 2. Мы докажем ниже, что ни один из его корней не может принадле­жать допустимому расширению К. Но сначала покажем, что спра­ведлива следующая

Теорема Г Если один из корней многочлена Ф(х) принад­лежит некоторому допустимому расширению поля К, то два других корня также принадлежат допустимому расширению 1).

Доказательство. Пусть цепочка квадратичных расширений К= ЛоСЛ^с... с=Кп = К'

выбрана так, что ее длина (т. е. число п) является наименьшей возможной из всех длин цепочек, приводящих к допустимым рас­ширениям поля А, которые содержат какой-нибудь корень много­члена Ф. Из неприводимости многочлена Ф следует, что n^l. Соответствующий корень (содержащийся в поле К') обозначим сим­волом Xj = а + b У z, где Кп= Кп_, (V~Z); a, b, z<^Kn_x. Так как х, £           то b=f= 0. Имеем теперь

0 = Ф(а -)- й \r~z) = Ф, (а, Ь, г) + Фг(а, b, z) \rz; Ф(а —b V~z) = b, z)— Ф„(а, b, z)\/"i,

где Ф, и Фг — некоторые многочлены от трех переменных с коэф­фициентами в поле К. Поэтому числа Ф,(о, b, z) и Фг(о, b, z) принадлежат полю А тогда из первого равенства вытекает, что Ф, (а. Ь, г) = Ф2(а, Ь. г) = 0 (потому что V z £ Кп_1), а из второго вы­текает, что Ф {а—b V z)= 0. Тем самым показано, что число хг — а—bV z£Kn является другим корнем уравнения Ф(х) = 0 (отличным от xt, так как Ьф 0). После этого найти третий корень уже совсем нетрудно:

.*,= — р— (х, -f-xs) = — р — 2а. Очевидно, он тоже принадлежит допустимому расширению Кп. Тео­рема доказана.

Заметим, что достаточно добавить к этому доказательству одну фразу, чтобы установить справедливость следующего предложения.

') В самом простом, но важном случае, огда p = q = 0, это совсем

п ■ s — 1 + V 3* легко доказать Денств^тельно. тогда х2 = ехи хг = ехг, гдее =  ^         

первообразный корень третьей степени из единицы. Число г, очевидно, принадлежит допустимому расширению поля К\ следовательно, числа ехх и е2х, также принадлежат допустимому расширению. В общем случае доказательство несколько сложнее.

Теорема 2'. Если Ф(х)— неприводимый многочлен третьей степени с коэффициентами из поля К, то ни один его корень не принадлежит допустимому расширению поля К.

В самом деле, xs = —р-—2а £ что противоречит определению числа п (напомним, что /z 3s 1, и потому поле /(„_, определено).

Таким образом, изложенное доказательство теоремы 1' оперирует с пустым множеством объектов: многочленов третьей сте­пени. удовлетворяющих условию теоремы 1', вообще не существует1

Тем не менее, конечно, никаких логических несообразностей наши рассуждения не содержат: «условная» теорема Г сохраняет свою силу независимо ог отрицательного результата георемы 2' и мы вы­делили отдельно эту георему, поскольку она показывает, какие соо­бражения применяются для доказательства теоремы 1 в общем слу­чае. С другой стороны, указанный способ доказательства теоремы 2' не поддается обобщению на случай произвольной степени, и сама эта теорема заменяется более сложной по форме теоремой Гаусса (см. теорему 2, п. 2.5).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я