• загрузка...
    5

Теорема 1.

загрузка...

 На каждой плоскости можно найти три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство. Пусть а — некоторая плоскость и А — ле­жащая в этой плоскости точка (аксиома 5°). Пусть, далее, М, N, Р— три точки, не лежащие на одной прямой (аксиома 3°). Так как все точки М, N, Р различны, то среди них найдется точка, отлич­ная от А. Пусть, например, М=^=А. Так как точки М, N, Р не лежат на одной прямой, то хотя бы одна из точек N, Р не лежит на прямой МА. Пусть, например, точка N не лежит на прямой МА. Тогда точки А, /И, N не лежат на одной прямой. Действительно, если бы А, М, N лежали на одной прямой, то этой прямой явля­лась бы прямая МА (в силу аксиомы 1°); но точка N не лежит на этой прямой.

Так как точки А, М, N не лежат на одной прямой, то в силу аксиомы 4° через них проходит (единственная) плоскость. Если плоскость AMN совпадает с а, то тем самым в плоскости а найдены три точки А, М, N, не лежащие на одной прямой. Если же пло­скость AMN не совпадает с а, го эти плоскости имеют отличную от А общую точку В (аксиома 7°). Таким образом, в плоскости а существуют две различные точки А, В.

Пусть теперь Т, U, V, W—четыре точки, не лежащие в одной плоскости (аксиома 8°). Среди них обязательно найдется точка, не лежащая на прямой АВ. Действительно, если бы точки Т, U, V, W лежали на прямой АВ, то все они лежали бы в плоскости а (аксиома 6°), чего не может быть. Пусть Т не лежит на прямой АВ. Тогда три точки А, В, Т лежат в одной плоскости. Среди точек U, V, W хотя бы одна не лежит в плоскости АВТ (иначе Т, U, V, W лежали бы в одной плоскости АВТ). Пусть, например, U не лежит в плоскости АВТ. Тогда точки А, В, Т, U не лежат в одной пло­скости. Действительно, если бы А, В. Т, U лежали в одной плоско­сти, то этой плоскостью могла бы быть только плоскость АВТ (в силу аксиомы 4°); но точка U не лежит в плоскости АВТ.

Заметим еще, что точки Л, Т, U не лежат на одной прямой. Действительно, если бы точки Л, Т, U лежали на одной прямой, го эта прямая совпадала бы с прямой AT (аксиома 1°), и потому точка U льжлла бы в плоскости АВТ (аксиома 6°), что места не имеет.

Так как точки Л, Т, U не лежат на одной прямой, то через них проходит плоскость (аксиома 4°). Плоскость ATU не может совпа­дать с плоскостью а, так как иначе все четыре точки Л, В, 1, U

3 энциклопедии, кь. 4

лежали бы в одной плоскости а. В силу аксиомы 7° плоскости а и ATU имеют общую точку, отличную от А. Обозначим эту общую точку через С. Таким образом, точки А, В, С лежат в плоскости а. Покажем, что эти точки не лежат на одной прямой. В самом деле, если бы точки А, В, С лежали на одной прямой, то эта прямая совпадала бы с АС (аксиома 1°), и потому в силу аксиомы 6° лежала бы в плоскости ATU (ибо эта плоскость содержит точки А и С), т. е. точка В лежала бы в плоскости A TU. Но это противо­речит тому, что точки А, В, Т, U не лежат в одной плоскости. Полученное противоречие доказывает, что точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я