• 5

2 3 Алгебраические рассмотрения

 ') Ответ на поставленный вопрос не прост Больше того, если не накладывать никаких ограничений на систему уравнений, которая может получиться в результате, то даже не удастся высказатт никаких общих соображений по этому поводу. Мы по­этому наложим следующее условие на рассматриваемый класс задач: их решение должно сводиться к решению системы уравнений вида

где X;—неизвестные точки, a F,- — многочлены от переменных X;, коэффи­циенты которых нходят в поле К, соответствующее заданной перрон-чаль- но системе точек. (Задачи трисекции угла и удвоения куба принадле­жат к этому типу; задача квадратуры круга не принадлежит Об этом мы ещ скажем позже )

Если геометрическая задача правильш поставлена, в частности если начальных i анных достаточно, то она должна допускать только конечное число ответов В алгебре доказывается, что тогда систему уравнений (3)

') Этот пункт рекомендуем при первом чтении стат! и пропустить и перейти сразу к п 2.4. Ущерба для понимания геометрической части статьи при этом не произойдет.

 

(3)

можно значительно упростить, сведя се методом исключения ь виду

Ф, (*,) = 0, Ф2(*2)=0,

Ф„(-*„)=0.

где на этот раз Ф,- (*,)— многочлены с коэффициентами в поле К, каждый из которых зависит лишь от одной переменной Правда, прн этом степени многочленов Ф, могут значительно вырасти в сравнении с степенями многочленов Fj н, что еще хуже, у системы (4) могут появиться новые решения Но первое затруднение имеет значение лишь при практическом счете, а второе мы не будем принимать во внимание, как пргжде, считая, что если мы разберемся в возможности построения корней системы (4), то отобрать из них решения, дающие ответ геометрической задачи, будет уже делом доступным.

В свою очередь, построение корней системы (4) сводится к построе­нию корней многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле К- Пуств Ф(с)— такой многочлен. Если нам удастся разложить его на два множителя Ф (х) = Ф, (*) Ф2 (х), ни один из которых не является постоянной величиной, и оба эти множителя имеют коэффициенты нз поля К, то достаточно будет изучить вопрос о построении корней каждого из этих множителей в отдельности. Многочлен Ф(>), который нельзя разложить на множители таким образом, называется не р во имым над полем К. (Если ясно, какое поле К имеется в виду, мы будем иногда для краткости называть такой многочлен просто не ривобимым.) Следует, однако, отчетливо понимать, что неприводимость мног члена существенно зависит от поля, над которым этот многочлен рассматривается. Над полем комплексных чисел, например, любой многочлен выше первой степени при­водим,— этот результат ранее часто называли «основной теоремой алгебры».

Из всего сказанного вытекает, что при принятых ограничениях мы при­шли к следующему вопросу. Дан не/ ривод/.мый многочлен с гоэф()ицкен там и в поле К- Содержатся ли его корни в некотором оо.,устимом расши­рении поля Ю

Вопрос не вполне четко поставлен: некоторые корни, казалось бы, могут содержаться в допустимом расширении, а другие нет. Здесь, однако, предположение неприводимости позволяет установить следующий важный результат.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я