• 5

2.2. Выводы.

 Доказанная только что лемма в некотором смысле решает основной вопрос теории построений с помощью циркуля и линейки, сформулированный в конце § 1. Для точной формулировки ответа введем несколько новых понятий.

Обозначим буквой А систему заданных точек, а буквой К — поле, соответствующее этой системе (напомним, что оно содержит заданные точки, число / и все сопряженные ко всем своим элементам; притом это поле является наименьшим с указанными свойствами). Для любого поля L его квадратичным расширением назовем поле вида L(]/"г), где число z£L не является полным квадратом в поле L. Назовем конечное расширение К' поля К допустимым, если оно получается из поля К в результате конечной цепочки квадратичных расширений:

К = К, <= К, с Кг с . .. с Кп = А"; Ki+l = Ki(V^. *i<=Ki (/ = 0,1, . я-Ц.

Теперь ответ на основной вопрос теории пос[роений можно сфор­мулировать так:

Л ля того чтобы точку z можно было построить циркулем и линейкой, исходя из совокупности точек А, необходимо и доста­точно, чтобы точка z содержалась в некотором допустимом расширении поля К. Этот результат представляет собой простую перефразировку доказанной выше основной леммы.

Теперь следует разобраться в том, как применять этот резуль­тат к конкретным геометрическим задачам.

Для возможности такого применения следует прежде всего ре­шить соответствующую алгебраическую задачу. Это означает, что мы должны считать искомые точки (т. е. те, которые нужно постро­ить) неизвестными и составить для них систему уравнений, исходя из условий задачи (в коэффициенты этих уравнений войдут числа, соответствующие данным точкам). После этого мы должны либо су­меть записать корни уравнений (т. е. искомые точки) в виде неко­торых выражений, содержащих в конечном числе операции сложения, умножения, деления и извлечения квадратного корня, примененные к первоначально заданным числам, либо установить, что таких вы­ражений не может существовать.

В первом случае мы сможем затем геометрически получить ответ на задачу, строя с помощью циркуля и линейки корни нашей си­стемы уравнений.

Гораздо интереснее второй случай, потому что мы сталкиваемся здесь с вопросом нового типа: как установить, что корни данной системы уравнений не принадлежат допустимому расши­рению данного поля?

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я