• 5

§ 2. Перевод задачи на алгебраический язык

2.1. Основная лемма. Нам понадобятся некоторые сведения из теории полей: определение числового поля, конечного расширении и степени конечного расширения. Все эти сведения можно найти в статье «Кольцо многочленов и поле рациональных функций» из кн. II ЭЭМ.

Кроме того, мы будем предполагать, что читатель знаком с гео­метрическим изображением комплексных чисел точками плоскости, при котором число а-\ Ы (а, Ь—вещественные числа) изображается точкой с координатами (а, Ъ) в фиксированной раз навсегда прямо­угольной системе координат.

Это изображение будет играть в дальнейшем основную роль. Именно мы отождествим плоскость, на которой проводятся все наши построения, с полем комплексных чисел. Говоря о сложении, умно­жении и других алгебраических операциях над точками, мы будем иметь в виду соответствующие операции над числами, которые изо­бражаются этими точками. О.шсание всех точек, которые можно по­лучить из данных посредством построения циркулем и линейкой, равносильно описанию всех отвечающих этим точкам чисел. Мы даже будем говорить, например, о принадлежности точки к некоторому полю и т. п.

Итак, пусть в числе данных задачи содержится задание двух точек на плоскости. Выберем одну из этих точек в качестве начала координат 0, второй припишем координаты (1, 0) (т. е. число 1). (Кроме этих двух точек, в данные задачи могут входить еще неко­торые другие точки.) Проведем в точке 0 перпендикуляр к прямой, соединяющей 0 и 1, и отложим единичный отрезок по нему от на­чала координат. Все эти построения осуществляются с помощью циркуля и линейки; результатом построения является некоторая декартова система координат, которую мы и будем использовать для сопоставления с точками комплексных чисел.

Теперь мы рассмотрим какое-нибудь одно (совершенно произволь­ное) построение циркулем и линейкой. В процессе этого построения строятся совокупности точек. Символом Ап мы обозначим совокупность п точек, которая получается на очередном шаге построения. Сле­дующий шаг, тем самым, состоит в добавлении к совокупности Ап еще одной точки, т. е. в переходе к совокупности Ап+г. Обозначим символом К„ наименьшее подполе поля комплексных чисел, содер­жащее число /', все числа из совокупности Ап и вместе с каж­дым числом содержащее сопряженное к нему число. Первым важ­ным результатом является следующая основная лемма, устанавлива­ющая связь между геометрическими операциями над точками и алгебраическими операциями над соответствующими им числами

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я