• 5

1.2. Построения циркулем и линейкой.

 Перейдем теперь к воп­росу в). Ответ на этот вопрос заключается в самом названии статьи: построение должно осуществляться с помощью циркуля и линейки. Следует лишь уточнить, что мы имеем право делать с помощью циркуля и линейки.

Удобно описать процесс построения индуктивно. Мы начинаем с конечного числа точек на плоскости и хотим получить конечное число точек на плоскости; процесс построения состоит в том, что к уже имеющейся системе точек мы добавляем по известным пра­вилам еще некоторые, а затем отбираем среди всех получившихся точек те, которые доставляют решение нашей задачи. Вторая часть, конечно, определяется спецификой задачи; нас интересует сейчас, по каким правилам добавляются точки.

Назовем шагом построения добавление одной новой точки к уже имеющимся. Отыскание этой новой точки производится в результате проведения некоторых операций; по определению, в построе­нии циркулем и линейкой шаг может состоять только из следующих операций (причем операции 1 и 2 могуг применяться несколько раз, а операция 3—один раз).

1.         Проведение прямой через пару точек имеющейся совокупно­сти. (Эта совокупность является результатом предыдущего шага или представляет собой первоначально заданную систему точек.)

2.         Проведение окружности с центром в одной из точек имеющейся совокупности и проходящей через некоторую другую точку этой совокупности.

(Такие прямые и окружности мы назовем построенными на базе имеющейся совокупности точек.)

3.         Выбор одной точки пересечения построенных прямых и окружностей между собой и добавление этой точки к имеющейся совокупности.

') Если в качестве данных может быть указано бесконечно много точек, не сводящихся к точкам конечной совокупности прямых и окружностей, это резко расширяет область разрешимых задач. Например, задание кри­вой, являющейся графиком функции у = х' (и даже любой ее дуги), позволит затем с помощью циркуля и линейки решить задачу об удвое­нии куба.

Вместо операции 3, которая представляет собой выбор опре­деленной точки, иногда оказывается необходимым пользоваться операцией

За. Выбор «произвольной» точки и добавление ее к имеющейся совокупности.       ,

Следует уточнить здесь употребление слова «произвольный». По определению это означает, что точку можно «произвольно» выбирать либо на некотором отрезке прямой, либо на дуге окружности, либо же в Части плоскости, ограниченной отрезками или дугами, и, возможно, уходящей в бесконечность. При этом все фигурирующие прямые и окружности должны быть построены на данном шаге, а концы отрезков и дуг должны быть точками имеющейся совокупности. Можно считать, конечно, что «произвольная» точка не должна ле­жать на концах отрезков и дуг или на границе упомянутой части плоскости.

Построением с помощью циркуля и линейки называется после­довательность. состоящая из конечного числа опиа.нчых шагов.

Еще раз подчеркнем, что при таком определении часть реального геометрического содержания данной задачи может остаться в сто­роне. Например, останется в стороне вопрос о сведении данной задачи и желаемого ответа к построению конечного числ) точек и о выборе из построенной совокупности точек, необходимых для окончательного решения задачи; останется в стороне также выясне­ние вопросов тина: какие из построенных точек являются смежными вершинами в искомом многоугольнике, и т. п. Эти вопросы относятся скорее к «анализу построении», а не к решению проблемы о выпол­нимости требуемого построения.

Итак, пусть задана некоторая конечная совокупность точек на плоскости; мы считаем, что точку А можно построить (с помощью циркуля и линейки), если существует такое построение, что (неза­висимо от промежуточных «произвольных» выборов точек!) система точек, полученная в результате этого построении, содержит точку 4. Задачу на построение мы считаем разрешимой, если совокупность точек, которые следует найти для решения этой задачи, состоит только из таких точек, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Теперь мы можем сформулировать и «основной вопрос теории построений с помощью циркуля и линейки». Мано конечное число точек на плоскости. Какие точки можно построить, исходя из них?

Мы уже упоминали, что имеется точный ответ на этот вопрос (т. е. условия, необходимые и достаточные для возможное ги по­строения точки); существенную роль играет тпкже частичный ответ, указывающий необходимые условия для того, чтобы точк) можно было построить.

14 Энциклопедия, кн -1

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я