• 5

§ 1. Геометрическая часть теории

1.1. Постановка задачи. При строгом описании понятия «пост­роение с помощью циркуля и линейки» следует ясно представить себе ответ на три вопроса:

а)         Чго мы хотим построить?

б)         Каковы исходные данные?

в)         Какими средствами мы можем пользоваться?

Прежде всего будем иметь в виду, что все наши построения проводятся на выбранной раз навсегда плоскости.

Для ответа на первый вопрос нужно проанализировать имеющиеся в нашем распоряжении конкретные задачи. Этот анализ показывает,

') См. выше, стр 176.

что главной целью решения всегда является построение конечного числа точек (на плоскости). Сама по себе задача, конечно, не всегда формулируется так. Однако нетрудно проверить, что любая задача сводится к такой.

Например, для отыскания некоторой окружности достаточно построить ее центр и одну из ее точек; для отыскания прямой достаточно построить какие либо две ее точки; задача трисекции угла сводится к построению двух точек (Р, Q на рис. 1), через ко­торые проходят прямые, делящие угол на три равные части. За­дача построения треугольника (по каким бы то ни было данным)

сводится к задаче построения трех его вершин. Вообще задача по­строения многоугольника (в частности, квадрата, равновеликого кругу) сводится к задаче построения его вершин; но дополнительно нужно указать, какие отрезки, соединяющие пары точек, должны входить в число сторон многоугольника. (Рис. 2, на котором изо­бражены два разные многоугольника с одними и теми же вершинами, показывает, что без этого указания огвет не может быть определен однозначно.) Задача удвоения куба сводится к задаче построения двух точек, отстоящих друг от друга на заданное расстояние (ребро куба, объем которого вдвое больше объема данного куба). Читатель может сам умножать количество примеров. В прин­ципе, разумеется, могут быть задачи, для решения которых нужно в каком-то смысле найти бесконечно много точек (например, построить эллипс с заданными полуосями). Однако если они не сводятся к задаче об отыскании конечного числа точек, мы не станем их рассматривать.

Мы не станем также заниматься вопросом о дополнительных сведениях, которые нужно получить, когда искомая конечная система точек построена (например: указать пары точек, являющиеся смеж­ными вершинами искомого многоугольника). Обычно эти сведения получаются прямым геометрическим рассмотрением чертежа.

Итак, мы принимаем следующий ответ на вопрос: а) целью любой задачи на построение является указание конечного числа точек на плоскости.

 

Рис. 1.

Рис. 2.

Теперь ответ на вопрос б) напрашивается сам собой: в качестве первоначальных данных у нас также должна иметься конечная сово­купность точек на плоскости. В самом деле, для задания угла до­статочно задать его вершину и две точки на сторонах; для задания окружности достаточно задать три ее точки или центр и одну точ ку; для задания квадрата достаточно задать его вершины и т. п. ').

Итак, мы принимаем следующий ответ на вопрос б): исходными данными любой задачи на построение является система конечного числа точек на плоскости.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я