• 5

Введение

Теория геометрических построений с помощью циркуля и линейки была вызвана к жизни многочисленными безуспешными попытками решить с помощью такого построения три древние задачи: трисек ции угла, удвоения куба, квадратуры круга.

Значение этой теории исторически заключается в том, что она дала одно из первых доказательств невозможности в математике, выполнив его с помощью точного обозрения совокупности объектов, которые можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой. Оба математических результата, которые в данной теории получа­ются одновременно, но, вообще говоря, могут достигаться разными средствами, в математике двадцатого века играют особую роль; так, предметом новой науки — метаматематики— в значительной степени является изучение вопросов о гом, какие выводы в принципе можно и какие нельзя получить, пользуясь данными средствами.

Решение основной задачи теории построений циркулем и линей­кой, заключающееся в точном описании совокупности построений,

которые можно осущес1Вить, и в описании алгоритма, который даег возможность решить всякую конкретную задачу или узнать, что эта задача неразрешима, является по существу алгебраическим; это ре­шение не могло быть достигнуто до появления необходимых алгебраи ческих средств. Первое их появление датируется (1796 г.) знаменитой работой юного Гаусса о правильных многоугольниках, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Эта работа уже содержала в зачаточном виде основы новой алгебраической теории (позже раз­витой замечательным французским математиком Эваристом Галуа, по имени которого ее называют теорией Галуа) для некоторых полей частного вида, причем эти алгебраические рассмотрения представляли собой как раз наиболее глубокую часть работы.

Таким образом, теория построений по существу состоит из трех частей.

Первая — чисто геометрическая — должна заключать в себе анализ понятия «построение с помощью циркуля и линейки», с тем чтобы это понятие было определено четко и недвусмысленно. (Известно, например, что утверждение о невозможности построения трети за­данного угла с помощью циркуля и линейки перестает быть спра­ведливым, если разрешить некоторые приемы использования линейки ').) Эта первая часть подготавливает почву для второй, в которой за­дача переводится на алгебраический язык и ставится в алгебраиче­ских терминах. Этот перевод не является чисто механической пере­фразировкой: он приводит к появлению новых математических объектов, которые затруднительно или невозможно было бы выразить на гео­метрическом языке. С другой стороны, именно появление этих новых объектов позволяет в конце концов решить задачу. Наконец, третья часть теории является собственно алгебраической, наиболее глубокой и наиболее трудной: в ней решается алгебраическая задача, к кото­рой была приведена соответствующая геометрическая задача — теория построений

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я