Б. Решить задачу на построение

—значит выполнить это построе­ние на бумаге (или на другой материальной плоскости) при помощи чертежных инструментов.

В геометрии на плоскости между точками зрения А и Б нет принципиального различия, потому что постулаты точно отражают свойства чертежных инструментов

Если учитель задал ученику задачу на построение, то он может удовлетвориться словесным решением и не требовать вычерчивания '). В самом деле, вся трудность заключается в нахождении цепи основ­ных задач. Если найдено решение, сформулированное словесно, то его чертежная реализация не представляет никаких затруднений.

7.2. Система постулатов для «воображаемых построений» в пространстве. В теории геометрических построений в пространстве можно предложить систему постулатов, аналогичную приведенной на стр. 200:

1.         Через две точки можно провести прямую.

2.         Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно про­вести плоскость.

3.         Можно построить сферу, имеющую данный центр и данный радиус.

') За исключением тех случаев, когда требуется упражнение в про­цессе черчения.

4. Можно найти линию пересечения двух ужё построенных по­верхностей (плоскостей или сфер).

5- Можно взять произвольную точку на ужё построенной поверх­ности или линии.

6. В ужё построенной плоскости можно производить любые по­строения, допускаемые в геометрии на плоскости.

Эта система постулатов является избыточной. Мы ввели лишние постулаты (например, 3-й) для усиления аналогии с системой посту­латов для построений на плоскости.

По аналогии с геометрией на плоскости можно под решением за­дачи на построение в пространстве считать сведение ее к основным задачам. Но здесь обнаруживается существенная разница с геометрией на плоскости. Приведенные шесть постулатов составлены по аналогии с постулатами геометрических построений на плоскости, но в отли­чие от последних они не выражают свойств каких-либо инструментов. На плоскости можно провести прямую карандашом по линейке, а в пространстве нельзя материальным образом провести плоскость че­рез три точки.

Иначе говоря, на геометрические построения в пространстве не может быть точек зрения А и Б, а может б:мть только точка зрения А. Задачу на построение можно решить словесно, но это построение нельзя реализовать.

Выполняемые таким образом (словесно) построения называются воображаемыми построениями.