Б. Решить задачу на построение
—значит выполнить это построение на бумаге (или на другой материальной плоскости) при помощи чертежных инструментов.
В геометрии на плоскости между точками зрения А и Б нет принципиального различия, потому что постулаты точно отражают свойства чертежных инструментов
Если учитель задал ученику задачу на построение, то он может удовлетвориться словесным решением и не требовать вычерчивания '). В самом деле, вся трудность заключается в нахождении цепи основных задач. Если найдено решение, сформулированное словесно, то его чертежная реализация не представляет никаких затруднений.
7.2. Система постулатов для «воображаемых построений» в пространстве. В теории геометрических построений в пространстве можно предложить систему постулатов, аналогичную приведенной на стр. 200:
1. Через две точки можно провести прямую.
2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость.
3. Можно построить сферу, имеющую данный центр и данный радиус.
') За исключением тех случаев, когда требуется упражнение в процессе черчения.
4. Можно найти линию пересечения двух ужё построенных поверхностей (плоскостей или сфер).
5- Можно взять произвольную точку на ужё построенной поверхности или линии.
6. В ужё построенной плоскости можно производить любые построения, допускаемые в геометрии на плоскости.
Эта система постулатов является избыточной. Мы ввели лишние постулаты (например, 3-й) для усиления аналогии с системой постулатов для построений на плоскости.
По аналогии с геометрией на плоскости можно под решением задачи на построение в пространстве считать сведение ее к основным задачам. Но здесь обнаруживается существенная разница с геометрией на плоскости. Приведенные шесть постулатов составлены по аналогии с постулатами геометрических построений на плоскости, но в отличие от последних они не выражают свойств каких-либо инструментов. На плоскости можно провести прямую карандашом по линейке, а в пространстве нельзя материальным образом провести плоскость через три точки.
Иначе говоря, на геометрические построения в пространстве не может быть точек зрения А и Б, а может б:мть только точка зрения А. Задачу на построение можно решить словесно, но это построение нельзя реализовать.
Выполняемые таким образом (словесно) построения называются воображаемыми построениями.