• 5

6.3. Графоаналитический метод и метод последовательных приближений.

 При решении задач на построение зачастую исполь­зуются также данные, полученные с помощью предварительных рас­четов. Соответствующий метод приближенного решения задач на построение называют графоаналитическим методом.

Например, задача о делении окружности на п равных частей может быть решена (а на практике, в частности при разметке, часто так и решается) при помощи специально составленных таблиц хорд.

На основании предварительных расчетов часто производится вы­черчивание некоторых кривых, построение точек по их координатам, например при разметке шаблонов, при выполнении чертежей для ко­пировальных станков и т. д.

Широкое распространение этого метода объясняется тем, что в ряде случаев он дает возможность осуществить построение более просто, чем при чисто геометрическом решении; во многих случаях это — единственно возможный путь решения задачи. Теоретически погрешность самого метода (точность вычислений) может быть сде­лана как угодно малой.

Однако применение графоаналитического метода не всегда удобно, гак как предварительные расчеты иногда оказываются слишком гро­моздкими.

Полезным методом приближенного решения конструктивных задач является также так называемый метод последовательных прибли­жений. Этот метод заключается в многократном повторении некото­рого основного построения, применяемого вначале к заданной сово­купности элементов, а затем к фигурам, получаемым в результате предшествующих построений.

Если с увеличением порядкового номера построения абсолютные погрешности результатов неограниченно уменьшаются, то последова­

тельность этих результатов будет сходиться к искомому решению, т. е. тогда теоретически возможна аппроксимация решения с любой степенью точности.

Оценка точности построения при методе последовательных при­ближений обычно затруднена тем, что при построении часто прихо­дится выполнять большое число операций. Кроме того, аналитическое определение погрешности нулевого приближения затрудняется и тем, что часто нулевое приближение выбирается более или менее произ­вольно.

В связи с этим обстоятельством построение обычно выполняется до тех пор, пока практически совпадут результаты двух последова­тельных основных построений.

Число основных построений при решении задач зависит от бы­строты сходимости приближений. При удачно выбранном основном построении достаточно одного-двух приближений.

Довольно простым примером метода последовательных приближе­ний является следующее приближенное решение задачи о трисек­ции угла. Как известно,

±_±_i__L л. .J,

3 — 4 -г 4i -f • • ■

или

3 4 -г 4« "Г • • ■ т- 4п "г • ■ •

Следовательно, если дан угол АО В, равный ф, то графически можно с помощью циркуля и линейки приближенно найти его третью часть с какой угодно степенью точности, выполняя лишь деление углов пополам и их сложение.

Для деления угла на 3 части с помощью циркуля и линейки можно также использовать сумму бесконечно убывающей профессии,

первый член которой равен, а знаменатель равен—. Однако этот

ряд сходится медленнее, чем ряд с общим членом ап = ~.

Спрямление дуг окружностей также можно выполнять методом последовательных приближений. Задача состоит в том, чтобы найти достаточно простой способ построения последовательностей перимет­ров вписанных или описанных ломаных. Мы рассмотрим один изящ­ный прием нахождения периметров вписанных ломаных.

Пусть АВ — дуга окружности с центром в точке О, стягивающая центральный угол а (рис. 49). Примем за нулевое приближение длину хорды спрямляемой дуги АВ. Затем проведем прямую ANJ_OA, бис­сектрису АА, угла BAN и ВЬЛ _L АВ. Биссектриса ААХ угла BAN пересечет дугу АВ в ее середине (точка С4). Итак, BCl = ACx = blCl\

следовательно,

Abl = BCl +CtA, и первое приближение (длина ломаной АСХВ) будет

РХ=АЬХ.

Второе приближение (длина вписанной ломаной, состоящей из четы­рех звеньев) находится аналогичным об­разом: проводим биссектрису ААг угла AXAN и через точку bt отрезок ЬхЬг J_ ААХ. Так как

ACt=TAbt,

то

АЬг = 4 АСг

и

РЯ = АЬШ.

Продолжая процесс, получим последо­вательность отрезков АВ, Abv АЬг, . , сходящуюся к отрезку, длина которого       Рис 49

равна длине спрямляемой дуги АВ.

Оценим быстроту сходимости процесса. Погрешность £-го прибли­жения равна

Ai = aR — 2'+1 R sin-^-;

 

следовательно.

A,+,

«-2,+Isin

A,

a — 9I+1 sin

 

Нетрудно показать, что предел

Ан

lim

равен —.

Таким образом, при повторении основного построения погрешность каждый раз уменьшается примерно в 4 раза.

Из этого построения можно вывести одну изящную формулу, впервые (аналитическим путем) установленную Эйлером. Очевидно, что

AB = 2R sin-^.

Далее £ BAN = у, и потому

 

16 1

Теперь из прямоугольных треугольников ВАЬ„ Ь,АЬг, ЬгЛ&.

находим

АВ 2Rsinl

 

" "па

а          а          а а

cos -г cos — cos — cos — 4          4          2 4

 

R sin а

а а а

 

 

 

Так как lim АЬп равен длине дуги АВ, т. е. равен Ra, то мы приходим

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я