• 5

1.     Требуется графически определить длину дуги

 АВ (рис. 45). Пусть С и D—соответственно середины дуги и хорды АВ. Из точки С проведем перпендикуляр СЕ к хорде АС до пересечения

2

его с хордой АВ (точка £). Отложим отрезок DF, равный -g- DE.

Тогда приближенно длина дуги АВ равна удвоенному отрезку AF.

Найдем погрешность этого построения. Как легко видеть,

DE=Rsin\ tg1-^;

2 nc 2 п - а . 2 а

"3 = Т  ^ ~4~'

A F=AD +~DE =

+4* **).

Длина дуги точно выражается   Рис. 45.

формулой AB=aR, где R—ра­диус дуги, а а—ее радианная мера. Мы же приближенно принимаем длину дуги АВ равной

AB^2AF = 2R sin ~ ^ 1 tg2-^).

Абсолютная погрешность А по определению равна абсолютной величине разности между истинным и найденным приближенным зна­чением искомой величины. Следовательно,

A = *[2sinIL(l44 *■«.)_„].

Относительная погрешность 6 будет равна

Е 2 а /, , 2 , , а \ .

a" SI" Т ( "3 т)

Легко проверить, разлагая тригонометрические функции в ряд по а. что этот способ дает для не очень больших дуг а сравнитель­но малую погрешность ^ус^о0*- Для больших дуг погрешность этого построения велика. Например, при а = л имеем б = ^ — 1 0,061.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я