§ 6. Приближенные методы геометрических построений и их значение для практики.

6.1. Точные и приближенные решения задач на построение.

Наряду с теоретически точными решениями задачи в теории задач на построение рассматриваются и приближенные решения.

Приближенным решением задачи называется результат выполнения некоторого построения, который мы принимаем за искомое решение, сознательно допуская при этом некоторую погрешность Само построение в этом случае называется приближенным.

Приближенные построения давно уже применяются при выполнении самых разнообразных графических работ, в том числе и расчетных.

') Определение и свойства инверсии см. в статье «Окружности», 468—474 этой книги ЭЭМ.

Энциклопедия, кн -1

тр.

Осътсняется это тем, что замена теоретически точных постро­ений приближенными во многих случаях значительно упрощает тех­ническую сторону работы, обеспечивая вместе с тем удовлетвори­тельную для практики точность, что особенно важно в тех случаях, когда требования к практической точности невелики.

Часто приближенные построения используются при решении кон структивных задач, которые не могут быть точно разрешены при помощи имеющегося в распоряжении исполнителя набора инстру­ментов.

Приближенными графическими способами решаются многие виды уравнений, для которых точное аналитическое решение или не может быть получено или его получение сопряжено с большими трудностями вычислительного характера.

В случае приближенного построения на суммарную погрешность фактически выполненного построения влияют не только неизбежные погрешности Элементарных операций, но и погрешность выбранного способа приближенного решения задачи. Поэтому для выяснения целесообразности применения того или иного приема приближенного решения задачи необходимо оценить его теоретическую точность.

Теоретически приближенно решить задачу на построение можно с любой степенью точности. Это вытекает, например, из следующей теоремы, которую мы здесь приводим без доказательства:

Если среди заданных элементов имеются по крайней мере две различные точки, то точки, которые могут быть построены исходя из данных с помощью одного только циркуля, образуют на плоскости счетное всюду плотное множество.

Отсюда следует, что если искомое точное решение состоит в определении положения некоторой точки М (или совокупности точек) по заданным элементам, среди которых имеется по крайней мере две различные точки, то с помощью одного циркуля (и тем бо­лее с помощью циркуля, линейки и других инструментов) можно построить точку Л1А, либо совпадающую с М, либо как угодно близкую к ней.

Однако практическое нахождение удобных приближенных приемов решения задач на построение иногда бывает довольно трудным.

В качестве примеров рассмотрим задачи на спрямление дуг ок­ружностей (построение отрезка, длина которого равна длине данной дуги). Такие задачи часто встречаются в инженерной графике.