§ 6. Приближенные методы геометрических построений и их значение для практики.
6.1. Точные и приближенные решения задач на построение.
Наряду с теоретически точными решениями задачи в теории задач на построение рассматриваются и приближенные решения.
Приближенным решением задачи называется результат выполнения некоторого построения, который мы принимаем за искомое решение, сознательно допуская при этом некоторую погрешность Само построение в этом случае называется приближенным.
Приближенные построения давно уже применяются при выполнении самых разнообразных графических работ, в том числе и расчетных.
') Определение и свойства инверсии см. в статье «Окружности», 468—474 этой книги ЭЭМ.
Энциклопедия, кн -1
тр.
Осътсняется это тем, что замена теоретически точных построений приближенными во многих случаях значительно упрощает техническую сторону работы, обеспечивая вместе с тем удовлетворительную для практики точность, что особенно важно в тех случаях, когда требования к практической точности невелики.
Часто приближенные построения используются при решении кон структивных задач, которые не могут быть точно разрешены при помощи имеющегося в распоряжении исполнителя набора инструментов.
Приближенными графическими способами решаются многие виды уравнений, для которых точное аналитическое решение или не может быть получено или его получение сопряжено с большими трудностями вычислительного характера.
В случае приближенного построения на суммарную погрешность фактически выполненного построения влияют не только неизбежные погрешности Элементарных операций, но и погрешность выбранного способа приближенного решения задачи. Поэтому для выяснения целесообразности применения того или иного приема приближенного решения задачи необходимо оценить его теоретическую точность.
Теоретически приближенно решить задачу на построение можно с любой степенью точности. Это вытекает, например, из следующей теоремы, которую мы здесь приводим без доказательства:
Если среди заданных элементов имеются по крайней мере две различные точки, то точки, которые могут быть построены исходя из данных с помощью одного только циркуля, образуют на плоскости счетное всюду плотное множество.
Отсюда следует, что если искомое точное решение состоит в определении положения некоторой точки М (или совокупности точек) по заданным элементам, среди которых имеется по крайней мере две различные точки, то с помощью одного циркуля (и тем более с помощью циркуля, линейки и других инструментов) можно построить точку Л1А, либо совпадающую с М, либо как угодно близкую к ней.
Однако практическое нахождение удобных приближенных приемов решения задач на построение иногда бывает довольно трудным.
В качестве примеров рассмотрим задачи на спрямление дуг окружностей (построение отрезка, длина которого равна длине данной дуги). Такие задачи часто встречаются в инженерной графике.