• 5

5.2. Полнота системы аксиом.

 Весьма важным является и другое свойство аксиоматики—свойство полноты. Для объяснения того, что такое полнота системы аксиом, нужно ввести понятие изомор­физма двух моделей. Предположим, что задана некоторая аксиома­тика, в которой указываются основные понятия и перечисляются их свойства. Предположим далее, что для этой аксиоматики построены две модели. Эти модели называются изоморфными, если между элементами (т. е. основными понятиями) одной модели и элементами другой модели можно установить такое взаимно однозначное соответ­ствие, при котором сохраняются фигурирующие в аксиомах основ­ные отношения элементов. Например, множество всех целых чисел и множество всех рациональных чисел представляют собой две мо­дели группы. Эти модели не изоморфны между собой. Если же мы возьмем группу всех целых чисел и группу всех целых чисел, делящихся на 10 (операция — сложение), то эти группы оказы­ваются изоморфными между собой. Действительно, ставя в соот­ветствие каждому числу п число 10 п, мы получаем взаимно одно­значное соответствие между этими моделями, при котором сохраняют­ся фигурирующие в аксиомах группы отношения (т. е. сумма элементов переходит в сумму). Изоморфными между собой являются также приведенные в предыдущем параграфе модели евклидовой плоскости1).

Система аксиом называется полной, если всякие две ее интер­претации изоморфны между собой. Например, аксиоматика группы не является полной (так как существуют не изоморфные между собой группы). Не является полной также и аксиоматика поля.

В качестве примера полной системы аксиом мы приведем аксиома- гику поля действительных чисел. Именно поле действительных чисел можно определить как множество объектов любой природы, называемых «числами» и удовлетворяющих следующим аксиомам:

1° (а к с и о м а поля). Во множестве определены операции сложе­ния и умножения чисел, по отношению к которым это множество является полем.

2° (аксиома порядка). Для всяких двух различных чисел а и b справедливо одно из двух отношений а>Ь, Ь>а, причем если а> b

') О понятии изоформизма см. также ЭЭМ, кн. I., стр. 120—125.

и Ь>с, то а>с (отношение «>» транзитивно). и если а>Ь. то a-t-об + с при любом с, а при с>0 имеем aObc.

3° (аксиома непрерывности). Если tee числа разделены на два класса таким образом, что всякое число II класса больше вся­кого числа I класса, то существует или такое число I класса, которое больше всех остальных чисел этого класса, или такое число II класса, что все остальные числа этого класса больше его.

Заметим, что приведенная нами аксиома непрерывности является точной математической формулировкой определения непрерывности Аристотеля (см. § 1); однако, вопреки запрету Аристотеля, непрерывное поле действительных чисел состоит из неделимых элементов — чисел, составляющих бесконечное множество. Аксиома непрерывности в этой формулировке была предложен.-. Р. Дедек индом.

Можно было бы доказать, что аксиома Дедекинда может быть заме­нена (при наличии первых двух аксиом) аксиомой Архимеда (ЭЭМ, кн. I, стр. 131) и аксиомой полноты (ЭЭМ. ки. I, стр. 198). Аксиома непрерывности (в любой форме) делает возможным построение теории пределов, изучение непрерывных функций и т. д.

Непротиворечивость аксиом поля действительных чисел можно было бы доказать с помощью модели этого поля, построенной из «мате­риала» поля рациональных чисел. Обычно это делается с помощью сече­ний в поле рациональных чисел. Мы не будем проводить здесь это построение, отсылая читателя к курсам математического анализа.

Отметим, что аксиоматика поля действительных чисел является пол­ной: всякие две модели поля действительных чисел изоморфны между собой. Именно, всякую модель поля действительных чисел можно поста­вить во взаимно однозначное соответствие, например, с бесконечными десятичными дробями, причем при этом соответствии сохраняются ариф­метические действия, отношение «>» (отношение «больше») и непрерывность. В самом деле, в произвольной модели поля действительных чисел опре­делены числа 0 и 1. С помощью сложения мы можем определить все нату­ральные числа, а числа, противоположные натуральным, представят со­бой отрицательные целые числа; определенные нами целые числа попарно различны. Рассмотрим тепгрь произвольное число х из рассматриваемой модели. Если число х совпадает с целым числом п0, то мы поставим в соответствие числу х бесконечную десятичную дробь (п0—1),999 . . . Если же число х не является целым, то в силу аксиомы 2° и аксиомы Архи­меда (вытекающей из аксиомы 3°) найдется такое целое число п0, что

/г0+1>дс>и0. Далее, деля 1 на 10, мы получим число у^ и с помощью

1          2          9

сложения построим числа "o + Jq- "f^io' ••"o+Jq- Если число х не

совпадает ии с одним из этих чисел, то в силу аксиомы 2" найдется такое

, Пл 4-1          п,

натуральное число «,<10, что п0-1——>х> ^ . Продолжая таким

образом, мы получим, что наше число х либо совпадет с некоторой конечной десятичной дробью пп, п, п2. . . пк—тогда поставим в соответ­ствие числу х бесконечную десятичную дробь

n0,«i"2 --- nk_l(r,k—1)999 ....

либо же существует такая бесконечная десятичная дробь п0, rt,tt2«j...., что при любом k

n0l«,ns.. ,nk_1 ("at 1)>х>п0,п1пг.. .nk_lnk.

i> этом случае в силу аксиомы 3 число х должно быть поставлено в соответствие указан.,ои бесконечной десятичной дроби Это соответствие устанавливает изоморфизм рассматриваемой модели и модели, построенной из бесконечных десятичных дробен.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я