• 5

§ 5. Использование геометрических преобразований при решении задач на построение на плоскости

5.1. Общие замечания. В ряде случаев в процессе преобразо­вания исходных данных задачи могут принести пользу те или иные геометрические преобразования. Наиболее часто употребляются сле­дующие преобразования:

1)         симметрия относительно оси;

2)         вращение (в частности, симметрия относительно точки);

3)         параллельный перенос;

4)         преобразования подобия (в частности, гомотетия);

5)         инверсия.

Однако в иных случаях может оказаться полезным также исполь­зование иных преобразований, например, аффинных или проективных').

Следует заметить, что применение геометрических преобразований к решению задач может проводиться двумя принципиально разными путями.

Один из них заключается в применении геометрического преоб­разования ко всему чертежу (изготовленному в процессе анализа). Благодаря преобразованию чертеж может упроститься и это облегчит решение задачи. Например, инверсия может перевести прямую в ок­ружность или окружность в прямую, и это может оказаться суще­ственным упрощением в решении задачи; пример такого применения инверсии читатель найдет в следующем пункте (задача 5). Аналогично могут применяться и аффинные преобразования; например, произ­вольный треугольник может быть с помощью аффинного преобразо­вания превращен в равнобедренный (или даже равносторонний) треугольник, и это в ряде случаев чрезвычайно упрощает задачу. Ясно, однако, что применение движений в этом плане бессмыс­ленно, так как движение преобразует чертеж в равный ему чер­теж и никакого упрощения не произойдет.

Другой путь применения геометрических преобразований (позво­ляющий с успехом использовать и движения) заключается в том, что мы применяем преобразование не ко всему чертежу в целом,

•) По поводу определения и свойств всех упомянутых преобразований мы можем отослать читателя к помещенной в этой книге ЭЭМ статье «Гео­метрические преобразования».

а лишь к некоторой его части. В ряде случаев это позволяет ка­ким-то образом сблнзигь заданные в условии задачи геометрические элементы, и тем самым найти нить к осуществлению требуемого по­строения. Примеры, иллюстрирующие такое применение преобразо­ваний, читатель также найдет в следующем пункте (задачи 1—4).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я