• 5

Задача 2.

 Даны угол LMN (меньший 180°) и точка А на его биссек­трисе MP. Требиется через данную точки А провести прямую так, чтобы точки ее пересечения со сторонами данного угла определили отрезок ВС данной длины а (задача Паппа).

Анализ. Предположим, что задача решена (рис. 36). Опишем окружность около треугольника МВС. Точку пересечения биссектрисы с окружностью обозначим через D. Соединим точки В и D. Легко видеть.

что

Д BMDw A BAD.

Из подобия треугольников следует:

BP _ DM AD~~~ BD '

или

AD-DM BD

 

Обозначив MA—m, BD — b, ЛО = x, получим, что для решения задачи достаточно найти отрезок х, определяемый уравнением

b2 = (x + m)x.

При этом отрезок b определится как гипотенуза треугольника BDF,

а

один из катетов которого (BF) равен , а прилежащии к нему острый

угол (£FBD) равен , где а —исходный угол LMN (рис. 36). KD—диаметр

окружности; заметим, что

М         |                                   % < 90°. так как а <- 180°.

к                      —        2

Рис. 36.

Рис. 37.

Построение. Прежде всего построим вспомогательный отрезок Ь. После того как отрезок b построен, строим отрезок х, пользуясь формулой

х(х + т) = Ь*.

Очевидно, отрезок х можно рассматривать как внешнюю часть секущей, равной х-j-m, проведенной из некоторой точки к окружности диаметра т, если длина касательной, проведенной из этой же точки к этой окружности, равна b Соответствующее построение приведено на рис. 37.

Положение искомого отрезка ВС найдется теперь следующим образом. От точки А на продолжении отрезка МА откладываем отрезок AD, рав­ный х (рис. 36), затем раствором циркуля, равным Ь, на прямой MN отмечаем точку В. Таким образом, BD = b. Точка В является одним из концов искомого отрезка ВС. Вторым концом будет точка пересечения прямых ВА и ML.

Доказательство опять легко вытекает из проведенного выше анализа.

Проведем исследование решения этой задачи. Очевидно, что отрезки b их всегда могут быть построены, и притом однозначно, при любых а, т и а < 180°

Решения не будет, если не будет существовать точки пересечения прямой Л/V ч окружности радиуса b с центром в точке D, т. е. если

(рис. 38)

 

При

b < (х + т) sin —

b=^(x + m) sin —

 

(**)

решение будет единственным (окружность радиуса Ь с центром в точке D касается пря­мой MN), а в случае

b > (х + т) sin —

(***)

задача будет иметь два решения, причем отрезки ВС и В,С, будут, как легко видеть, симметричны относительно биссектрисы MP. Рис. 38.         Условия (н) — (***) нетрудно преобразо­

вать так, чтобы они содержали лишь перво­начально данные величины т, а, а. Именно, поскольку х(х+т) = Ьг, т. е.

b х-\-т' то условие (*) равносильно следующему:

х          а

Т < SW ~2 '

а

* < b sin "2

Подставляя это неравенство в соотношение х(х + т)^Ьг. получаем

b sin

 

b sin —|- tn 1 > Ьг,

или

т >

Ьг — Ьг sin   ^os* —

2 b-

b sin -,

a

a

Наконец, так как b =

a

~2

a

cos-

то окончательно имеем

a . a m> -s-ctg — .

Это условие эквивалентно соотношению (*), т. е. при его выполнении за­дача не имеет решений. Аналогично, задача имеет единственно решение при

а . а m = Yctg-2

и два симметричных решения при

а , а ^<-2 ctg-

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я