• 5

4.3. Алгебраический метод.

 Условие задачи на построение может быть выражено аналитически, если исходить из соотношений между искомыми и данными элементами.

Пусть, например, дана задача: построить квадрат, площадь которого в три раза больше плошади данного квадрата.

Обозначив сторону искомого квадрата через х, а сторону данного через а, получим уравнение

= За2;

его решение

jc = а ]/~3

(отрицательное значение корня уравнения не удовлетворяет условию задачи) дает аналитическое выражение искомого отрезка.

Аналитическое выражение задачи на построение в виде уравне­ния, а его решения в виде корня этого уравнения помогает найти геометрическое решение, определить, с помощью каких инструментов оно может быть выполнено (иногда это сразу можно сказать по виду полученного уравнения), облегчает исследование решения2).

Эти соображения получили свое полное развитие в аналитической геометрии, в которой геометрические исследования осуществляются средствами алгебры.

В самом начале школьного курса геометрии выполняются постро­ения отрезков, равных алгебраической сумме данных отрезков:

x — a±b; x = a-\-b— c + d; x = 3a±2b и т. д

Позже рассматривается построение четвертого пропорциональ­ного к трем данным отрезкам, выражаемого формулой

be

х — —: а

') В качестве примера задачи, исследование которой существенно свя­зано с числом заданных элементов, укажем известную задачу о построении n-угольника по заданным на плоскости серединам его сторон (см., напри­мер, И. М. Яглом, Геометрические преобразования, т. I, задача 13), всегда имеющую единственное решение при п нечетном и ни одного реше­ния или бесконечно много решений при п четном.

2) См. статью «О разрешимости задач на построение с помощью цир­куля и линейки» в этой книге ЭЭМ стр. 205—227

построение среднего пропорционального двух данных отрезков:

х = \r ab\

построение формулы:

с = 1/F+F

и т д Именно к этим построениям во многих случаях сводится приме­нение алгебраического метода к реше­нию задач на построение.

Проиллюстрируем сказанное при мерами.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я