• загрузка...
    5

§ 4. Общие методы решения задач на построение на плоскости

загрузка...

4.1. Метод расчленения условий задачи (метод «геометриче­ских мест»). Каждая задача на построение сводится, по существу, к нахождению по данным в задаче условиям одной или нескольких точек. Например, построение треугольника (или многоугольника) сводится к нахождению его вершин; построение окружности — к на­хождению ее центра и одной лежащей на окружности точки и т. д. Между тем, имеющиеся в нашем распоряжении чертежные средства (линейка, угольник, циркуль, лекала и пр.) приспособлены, как пра­вило, для вычерчивания линий. Поэтому при решении задачи на построение каждая точка (кроме непосредственно заданных) обычно определяется пересечением двух линий. Так, при построе­нии треугольника ABC по трем сторонам а, b и с мы определяем вершину С как точку пересечения двух окружностей: окружности с центром А и радиусом AC— b и окружности с центром В и ра­диусом ВС=а; при отыскании вписанной в заданный треугольник окружности центр ее находится как точка пересечения двух бис­сектрис треугольника и т. д.

В соответствии с тем, что искомая точка определяется как точка пересечения двух линий, требования, налагаемые задачей на искомую точку, обычно можно расчленить на два отдельных условия; назовем их условие «р» и условие «л>». Ни первое, ни второе из этих условий, взятое в отдельности, еще не определяет искомой точки.

Все точки, удовлетворяющие условию «р», составляют множе­ство точек, которое обозначим через М. В школьной практике это множество принято называть, в соответствии с устаревшей термино­логией Аристотеля'), «геометрическим местом точек», удовлетво­ряющих условию «р»; в дальнейшем мы будем пользоваться более современным и более коротким термином «множество». Итак, мы

') См. стр. 17 этой книги ЭЭМ.

 

обозначили через М множество всех точек, удовлетворяющих усло­вию «р». Точно так же, рассмотрев все точки, удовлетворяющие условию «V», мы получим некоторое другое множество точек, которое обозначим через N. Теперь нам остается только найти пересече­ние множеств М и А/, т е все точки принадлежащие одновре­менно обоим множествам М, N—это и будут все точки, удовлетворяющие

обоИМ УСЛОВИЯМ <<[Х» и «V».

Проиллюстрируем сказанное не­сколькими примерами.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я