• 5

§ 5. Непротиворечивость и полнота аксиоматики

5.1. Непротиворечивость аксиоматики. При рассмотрении аксио­матики весьма важным вопросом является выяснение ее непротиворечи­вости. Поясним, что под этим понимается. Пусть мы имеем некоторую систему аксиом, например аксиомы группы. Из этих аксиом мы можем ныводить все новые и новые теоремы. Если при этом могут быть получены две теоремы, противоречащие трут другу, то аксиоматика называется противоречивой Разумеется, аксиоматика только в том случае может быть положена в основу некоторой содержательной математической теории, если она не является противоречивой. Воз­никает естественный вопрос: каким образом можно убедиться в том, что некоторая аксиоматика непротиворечива? Например, является ли непротиворечивой аксиоматика группы? Тот факт, что аксиомы группы сформулированы много десятилетий назад и до сих пор не обнару­жено противоречий, конечно, не может нас убедить в непротиворе­чивости этой аксиоматики—-кто знает, может быть такие противоре­чия будут обнаружены через несколько лет! Иначе говоря, сколько бы мы ни развивали теорию на основе выбранной аксиоматики, мы, строго говоря, никогда не можем до конца быть уверенными в том, что выбранная аксиоматика непротиворечива. Внутри самой теории

') Напомним, что нулем коммутативной . руппы называется такой эле­мент 0, что а + 0 = а для любого элемента а.

обнаружить отсутствие в ней «внутренних противоречий» невозможно (строгое доказательство этого утверждения было дано не так давно видным американским логиком Куртом Г ё дел ем)

Однако существует прием, позволяющий до некоторой степени судить о непротиворечивости аксиоматики. Этот прием заключается в следующем Предположим, что в нашем распоряжении имеется некоторая математическая теория — назовем ее «теория Л»,— в истин­ности которой мы не сомневаемся Предположим далее, что нам за­дана некоторая аксиоматика, на основе которой мы должны построить другую математическую теорию—«теорию Б». Ясно, что если мы сможем, пользуясь понятиями, имеющимися в «.теории Л», построить некоторую модель, в которой выполняются все заданные аксиомы, лежащие в основе ^теории £>», то тем самым непротиворечивость лежащей в основе «теории Бу> аксиоматики будет установлена. Иначе говоря, если мы условимся считать «теорию Л» «истинной» и если, пользуясь «материала му> «теории Л», мы сможем по­строить модель (интерпретацию) для аксиоматики «теории Б», то непротиворечивость этой аксиоматики будет тем самым установлена.

Выше (стр. 19) мы говорили о том, что геометрия Лобачевского «столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида». Какой смысл имеет это утверждение? Оказывается, что, пользуясь «материалом» геометрии Евклида, можно построить модель геометрии Лобачевского (впервые такая модель была построена итальянским геометром Э. Бельтрами н немецким математиком Ф. Клейном уже после смерти самого Лобачевского), и наоборот, пользуясь «материалом» геометрии Лоба­чевского, можно построить модель геометрии Евклида (такая модель была построена Лобачевским). Следовательно, из непротиворечивости одной из этих геометрий вытекает непротиворечивость второй, и обратно 1).

Из сказанного видно, что непротиворечивость может иметь только условный смысл: для доказательства непротиворечивости аксиоматики мы должны построить модель, а для возможности построения модели нужно иметь какой-то «строительный материал», т. е. нужно иметь некоторую теорию, в истинности которой мы не сомневаемся. Наи­более простой математической теорией является арифметика рацио­нальных*) чисел (т. е чисел целых и дробных, положительных н

') См статью о неевклидовых геометриях в кн V ЭЭМ.

г) Непротиворечивость аксиоматики поля рациональных чисел сводится к непротиворечивости аксиоматики натуральных чисел (так как каждое

т

положительное рациональное число — изображается парой натуральных

чисел т, п). Непротиворечивость системы аксиом натуральных чисел уже нельзя доказать таким же образом. Впрочем, в этой непротиворечивости нас достаточно убеждает многовековой опыт человечества, постоянно поль­зующеюся натуральными числами.

отрицательных). На «истинность» (т. е. непротиворечивость) этой тео­рии мы будем безоговорочно ссылаться, и с ее помощью будем строить модели других теорий. Итак, мы будем считать аксиоматику непротиворечивой, если для нее можно построить модель, исходя из арифметики рациональных чисел.

Теперь ясно, например, что аксиоматика группы непротиворечива: множество всех целых чисел представляет собой модель группы. Другой моделью может служить множество всех рациональных чисел. Непротиворечивой является и аксиоматика поля: моделью поля может служить множество всех рациональных чисел.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я