• 5

Решение

легко можно получить из теоремы, приведенной на стр. 178—179. Именно достаточно повторить построение, исполь зованное выше при проведении отрезка АВ с помощью «короткой» линейки (рис. 29; ср. с рис. 28).

Можно также предложить другое решение этой задачи, основанное на использовании преобразования подобия. Именно выбе­рем в прямоугольнике ГТ точку О, примем ее за центр подобия и в

качестве коэффициента по­добия выберем число k, зна­чительно меньшее единицы Совершим теперь гомоте­тию1) с центром О и коэф­фициентом /г. При этой гомотетии прямые /, и /2 перейдут в некоторые пря­мые и 1г (рис. 30), а точка В—в точку В'. Если коэф­фициент гомотетии k доста­точно мал, то прямые /, и 1г пересекутся внутри пря­моугольника П в некоторой точке А'. Следовательно, прямая А'В' является обра­зом прямой АВ в рассматри­ваемой гомотетии и, в част­ности, АВ\\А'В'. Остается через точку В провести пря­мую, параллельную А'В'.

Это второе решение использует тот факт, что с помощью гомотетии с доста­точно малым коэффициен­том можно преобразовать чертеж (состоящий из данных точек и линий, а также тех точек и линий, которые нужно было бы провести для решения задачи) таким образом, чтобы он целиком уместился внутри прямоугольника П, что позволяет «в уменьшенном масштабе» провести все построение. Это соображение относится, разумеется, не только к данной задаче, но и вообще к любой задаче на построение, содержащей недоступные элементы. Иначе говоря, справедливо следующее утверждение, детали доказательства которого мы предоставляем читателюs): всякая за­

 

Рис. 30.

') Определение и свойства гомотетии см. на стр. 55 и 60—61. *) См. гакже книгу И. М. Я г л о м а. Геометрические преобразования,

I, Гостехиздат, М., 1955, стр. 89.

дача на построение, разрешимая (циркулем и линейкой) на неог­раниченной плоскости, разрешима также и в том случае, если допускаются лишь построения, производимые внутри заданного прямоугольника П. (Разумеется, если, например, в задаче требу­ется построить некоторую точку, расположенную вне прямоугольника П, то задача считается решен­ной, как только указаны две прямые, проходящие через эту точку; анало­гично отрезок, не умеща­ющийся в П, построен, если, например, вну гри П найдены три отрезка, для которых искомый от­резок является четвертым пропорциональным).

Заметим, что первое решение задачи, приведенной на стр. 179, представляет интерес для геодезии. Если точка пересечения А двух отмеченных на местности прямых /, и /2 находится в недоступ­ном месте (скажем, в болоте), то для проведения прямой через точку А и данную точку В можно использовать построение, показанное на рис. 29 (рис. 31). Оно удобно тем, что для его выполнения требуется

только проведение пря­мых линий (что только и можно делать на больших участках ме­стности— ведь циркуль с раство­ром в пару сотен метров практи­чески изготовить невозможно!). Это замечание подчеркивает прак­тическую ценность построений, выполняемых на ограниченном куске плоскости с помощью одной линейки — здесь наклады­ваются сразу два ограничения различного характера.

Сказанное выше делает интересными построения, выполняемые не только в прямоугольнике, но также на куске плоскости произвольной формы. Например, может потребоваться выполнить построение, не проводя никаких линий в нескольких запретных зонах (озера, болота, леса). Не рассматривая в общей форме вопрос о выполнимости построений на произ­вольном куске плоскости, мы ограничимся решением еще одной задачи.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я