• 5

§ 3. О построениях на ограниченном куске плоскости

3.1. Построения с помощью линейки ограниченной длины. При

решении задач на построение мы всегда так или иначе ограничены в применяемых средствах построения. Выше мы подробно рассмот­рели вопрос о тех ограничениях, которые накладываются выбором того или другого набора «чертежных инструментов». Однако могут встречаться и ограничения совершенно другого характера

Ясно, например, что возможность неограниченного проведения прямых линий и окружностей, постулированная в классической по­становке задачи о построениях «циркулем и линейкой», практически не может быть реализована, так как в нашем распоряжении всегда имеется лишь «линейка» ограниченной длины, позволяющая соединять отрезком две точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, не большем /, а также «циркуль» ограниченного раствора, позволяющий строить окружности не слишком малого и не слишком большого ра­диуса (т. е. окружности, радиус г которых удовлетворяет условию a^rsgгде а и Ь характеризуют возможности «циркуля» — длину его ножек и т. п.). Поэтому представляет практический интерес решение вопроса о построениях, которые можно производить «корот­кой» линейкой и циркулем ограниченного раствора.

') Недаром у Евклида, от которого идет постановка вопроса о по строениях циркулем и линейкой, отсутствуют даже сами слова «циркуль» и «линейка», а лишь постулируется возможность проводить прямые линии и окружности (постулаты 1—3 Евклида; см. статью «Аксиомы и ос­новные понятия геометрии» в этой книге ЭЭМ, стр. 15).

г) Решение ее может быть получено только при помощи инструмента, чертящего трансцендентные кривые. В частности, для этой цели может служить прибор для вычерчивания кривых у = arccosJt, g = c(p (спираль Архимеда) и др. 12 Энциклопедия, кв. 1

Остановимся здесь для примера на вопросе о возможности по­строений с помощью линейки ограниченной длины. Именно мы дока­жем, что конструктивные возможности линейки ограниченной длины нисколько не меньше конструктивных возможностей иде­альной линейки неограниченной длины. Иначе говоря, если имеется набор инструментов, содержащий идеальную неограниченную линейку (и, возможно, еще другие инструменты, например циркуль), то, за­менив в этом наборе идеальную линейку линейкой ограниченной длины /, мы получим новый набор инструментов, эквивалентный прежнему, т. е позволяющий решать все задачи, разрешимые нер-

друг от друга, i. е. позволяет соединить две точки отрезком и неогра­ниченно продолжать этот отрезок за его концы в обе стороны. Что же можно делать при помощи линейки длины /? Естественно считать, что с помощью такой линейки можно во-первых соединять отрезком две точки, расстояние между которыми не превосходит /, и, во-вто­рых, можно, последовательно перекладывая линейку, неограниченно продолжать любой отрезок в обе стороны (рис. 27). Объединяя обе возможности вместе, мы можем сказать, что линейка длины I по­зволяет проводить прямую лини о (неограниченную\) через две за­данные точки, расстояние между которыми не превосходит I.

Для того чтобы доказать, что линейка длины I эквивалентна идеальной (неограниченной) линейке, достаточно убедиться в том, что с помощью линейки длины I можно провести прямую, соеди­няющую две точки А и В, расстояние между которыми больше I. Для этого нам понадобится следующая теорема, доказательство ко­торой читатель может найти в статье «Геометрические преобразо­вания» (стр. 114 этой книги ЭЭМ).

Теорема. Дан угол MAN и точка Q, не лежащая на сто­ронах этого угла. Через точку Q проведены три прямые, пере­секающие стороны угла в точках Dv D2, Ds, и соответственно

Е2. Ег (рис. 28). Обозначим через В точку пересечения прямых

 

воначальным набором инструментов.

о I

Рис. 27.

Уточним прежде всего конструктивные возможности идеаль­ной линейки и линейки длины I. Именно мы считаем, что идеальная линейка позволяет проводить прямую че­рез две точки, находя­щиеся на произволь­ном (сколь угодно большом'.) расстоянии

ExDt и EtDx. а через С — точку пересечения прямых E2Dt и ЕъГ)г. Тогда точки А, В и С лежат на одной прямой.

Из этой теоремы почти непосредственно вытекает требуемое построение прямой АВ Нужно провести через точку А две прямые AM и AN, весьма «близко» (т. е. на расстоянии, значительно мень­шем чем I) проходящие от точки В (напомним, что с помощью ли­нейки длины / можно проводить отрезки сколь угодно большой длины). Далее через В проведем два отрезка, пересекающие пря­мые AM, AN в точках D,, Е2 и D2, ЕЛ. Проведем теперь отрезки D,f, и D2Et и продолжим их до пересечения в точке Q (рис. 28). Проведя теперь через Q еще одну прямую, пересекающую AM и AN в точках D, и Е3, и про­водя отрезки D2E3 и DsE2. мы найдем в пересечении этих отрезков точку С, ле­жащую на прямой АВ Остается соединить отрез д" ком точки В и С и продол жить отрезок ВС до точки А. Для возможности выпол­нения этого построения до­статочно позаботиться о том, чтобы каждый из отрезков D,EX, D2E2, D2Es, DsF2 и ВС имел длину, меньшую I, чего легко достичь.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я