• загрузка...
    5

2.4. О построениях с помощью иных наборов инструментов.

загрузка...

 

В заключение этого параграфа укажем некоторые результаты, каса­ющиеся применения других наборов инструментов.

В 1890 г. Август Адлер доказал возможность решения всех задач на построение, разрешимых циркулем и линейкой, при помощи так называемой двусторонней линейки (т. е. линейки с двумя парал­лельными краями), или при помощи прямого или острого угла (а сле­довательно, и угольника).

Таким образом, для решения всякой задачи на построение, раз­решимой циркулем и линейкой, достаточно одного из следующих

 

инструментов: циркуль, двусторонняя линейка, прямой или острый угол, угольник. Разумеется, комбинируя те или другие из этих ин­струментов, можно получить решение, более простое по технике вы­полнения.

Существуют также наборы инструментов, с помощью которых могут быть решены и задачи более высоких степеней (неразрешимые циркулем и линейкой). Иногда для этого необходимо, чтобы в плос­кости чертежа была задана некоторая фигура. Так, например, каждая задача на построение третьей и четвертой степени может быть ре­шена с помощью циркуля и линейки, если в плоскости чертежа дано отличное от окружности коническое сечение.

Мы приведем для иллюстрации только один пример—решение задачи трисекции угла при помощи так называемой вставки. Пусть на рис 26 AB=BO = OC=OD. Тогда /_ВАО = /_ВОА=а\

далее, угол СВО (внешний угол треугольника АВО) равен 2а; точно так же равен 2а и второй угол ВСО равнобедренного треугольника ОВС; нако­нец, угол COD (внешний угол треугольника ОАС) равен а + 2а = 3а Из Рис. 26.       этого вытекает простой

способ деления на три равные части произвольного угла с помощью циркуля и вставки, т. е. линейки с нанесенными на ней двумя делениями Лив. Именно из вершины О данного угла описываем радиусом, равным АВ, окруж­ность. Пусть С и D — точки пересечения этой окружности со сторо­нами угла СОД (рис. 26), который нужно разделить на три рав­ные части Будем теперь двигать вставку в плоскости так, чтобы точка А, отмеченная на вставке, скользила по прямой OD, а край вставки (т. е. линейки) проходил все время через точку С. Движе­ние вставки будем производить до тех пор, пока точка В, отмечен­ная на вставке, не попадет на окружность. Тогда мы будем иметь расположение вставки, указанное на рис. 26, и ВАО будет в точ­ности равен третьей части данного угла COD.

Это описание может создать впечатление, что задача деления произвольного угла на три равные части решена при помощи цир­куля и линейки—ведь, имея карандаш и линейку, можно сделать на крае линейки две отметки. Однако когда идет речь о решении задачи на построение с помощью того или иного набора инструмен­тов, то считаются указанными не физически реализованные инстру­менты, с помощью которых производятся построения, а лишь пере­чень тех «элементарных» операций, которые с помощью этих «идеаль­

 

ных» инструментов можно выполнять1). Перечисленные же на стр 167 «элементарные» операции, осуществимые с помощью циркуля и линейки, не включают такого использования линейки, которое при­менено в описанном построении. Именно поэтому линейку с отмечен­ными на ней двумя точками мы назвали «вставкой», чтобы подчерк­нуть, что этот инструмент отличен от линейки.

Как же быть с решением так называемых трансцендентных задач? Классическим примером такой задачи может служить задача о спрям­лении длины окружности, т. е. о построении отрезка, длина которого равна 2лг,где г—радиус окружности, а я—отношение длины окруж­ности к диаметру, — трансцендентное число. Данная задача не может быть решена не только с помощью обычного циркуля и линейки, но и с помощью эллиптического циркуля и вообще инструмента, чертя­щего алгебраическую кривую2).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я