• 5

4.2. Аксиоматические системы в алгебре

С примерами аксио­матик и их интерпретаций мы встречаемся не только в геометрии, но и в других разделах математики. В тех областях математики, где рассматриваются алгебраические операции, одним из важнейших по­нятий является понятие «группы». Группой называется система объ­ектов любой природы, называемых «элементами группы», в которой с каждыми двумя элементами а, Ь, взятыми в определенном порядке, со­поставлен некоторый элемент с = ab, называемый их произведением. При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы:

1°. Операция умножения подчиняется ассоциативному закону, т. е. a(bc) = (ab)c для любых трех элементов а, Ь, с.

2°. Для любых элементов a, b уравнения ax=b, уа = Ь разре­шимы, т. е. существуют такие элементы с и d, что ас=Ь и da=b (закон обратимости).

Таким образом, каждая конкретная группа является интерпрета­цией (или моделью) для этой аксиоматики. Группа называется коммутативной, если выполнена следующая дополнительная аксиома:

3°. Умножение коммутативно, т.е. ab=ba для любых двух эле­ментов а, Ь.

В коммутативной группе операцию часто называют не умноже­нием, а сложением (т. е. вместо ab пишут а-\-Ь).

Примером группы может служить множество всех целых чисел. Другими примерами являются: множество всех действительных чисел, множество всех комплексных чисел, множество всех векторов *). Все

') См. в этой книге ЭЭМ статью «Векторы и их применения в геомет­рии».

э1'll I рупны комму тативны (операции сложение). Дру гне примеры групп, а также простейшие теоремы о группах (выводимые из перечислен­ных выше аксиом) читатель может найти в кн. I ЭЭМ (стр. 100—108).

Рациональные, действительные и комплексные числа дают нам пример более сложной алгебраической системы. — поля. В поле со вся­кими двумя элементами а и Ь. взя гыми в опре 1,е.1енном порядке, сопо­ставлены два элемента с=а-\-Ь и d = ab той же системы, причем удовлетворяются следукпцне аксиомы (см. ЭЭМ, кн. I, стр 113 -120):

1°. Элементы системы образуют коммутативную группу, если групповой операцией считать сложение.

2°. Элементы системы без нуля ') образуют комму та тивную группу, если групповой операцией считать умножение.

3°. Сложение и умножение элементов связаны дистрибутивным юконом: а (Ь-{-с) ~ abас.

Аксиомы поля также чопускают большое число самых разно­образных интерпретаций.

В первых томах настоящего издания читатель может найти и ряд других аксиоматик: аксиомы натуральных чисел (ЭЭМ, кн. 1, стр. 133 —135), аксиомы метрического пространства (ЭЭМ, кн. Ш, стр. 266) и др.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я