• 5

Решение.

 Построим -прямоуголь­ник ABCD (задача 1) и найдем середины М, N, Р, Q его сторон (задача 2) Далее, проведем прямые MP и NQ (рис 21, а). Прямая / не может бьпь парал­лельна всем сторонам прямоугольника ABCD. Пусть сторона АВ не параллельна прямой I. Тогда прямые АВ, NQ и CD пересекаются с прямой / в некоторых точках R, S, Т. Так как прямая NQ находится на равных расстояниях от параллельных ей прямых АВ и CD, то RS—ST. т. е. S — середина отрезка RT.

Дальнейшее построение по сути дела представляет собой решение за­дачи, обратной задаче 2. Именно, проведем прямую ТЕ (рис. 21, б) и на ней выберем произвольную точку U. Затем проведем прямые US, UR, ER и обозначим через С точку пересечения прямых ER и US. Наконец, про­ведем прямую TG и обозначим через F точку пересечения этой прямой с прямой UR. Тогда EF — искомая параллельная к прямой I

/ / / / / /

hU

/

S

/ с

м\

\

0

\ \ ч \

ТЧ \ \ \ \ \ N

 

 

/ / /

V

ч

\

N

N

р/'

/

У

 

Г"

с

Рис. 20.

') Другое доказательство приведено на стр. 69 этой книги ЭЭМ.

Для доказательства правильности этого построения обозначим через F' такую точку прямой UR. что EF'\\TR, а через G'— точку пересечения прямых ER и TF'. Тогда прямая UG' проходит через середину отрезка TR (ср задачу 2 и рис. 19), т. е. совпадает с прямой US. Таким образом, точка О' лежит на прямой US Так как она, к, оме того, ле-

\ \

\ \ чК \ \м

р\ \у\

X \ \ \ \J \s \.R

о)

Рис. 21

жит на прямой ER, то точка G' совпадает с точкой пересечения прямых US и ER, т. е. совпадает с точкой G. Следовательно, прямая TG' совпа­дает с прямой TG, и потому точка F' лежит на прлмой TG Кроме того, точка F' лежит на прямой UR. Итак, точка F' совпадает с точкой пере­сечения прямых TG и UR, т. е. совпадает с точкой F. Но тогда прямая EF совпадает с EF', т. е EF\\TR

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я